《2025年物理竞赛教程高中物理》

1 如图所示，一根劲度系数为 $ k $ 的轻质弹簧，上端固定，下端连一质量为 $ m $ 的物块 $ A $，$ A $ 放在托盘 $ B $ 上。以 $ N $ 表示 $ B $ 对 $ A $ 的作用力，$ x $ 表示弹簧的伸长量。初始时系统静止，弹簧处于自然状态。现设法控制 $ B $ 的运动，使 $ A $ 匀加速下降，以 $ a $ 表示其加速度。考察能保持 $ A $ 匀加速下降的整个过程。
(1) 求 $ N $ 随 $ x $ 变化的关系式，并画出当 $ a $ 趋近于零和 $ a $ 等于 $ g/2 $ 时 $ N $ 随 $ x $ 变化的图像（$ g $ 为重力加速度）。
(2) 求各种能量在所考察的整个过程中的终态值和初态值之差。

答案：
(1) 对物块A受力分析，由牛顿第二定律得：$mg - kx - N = ma$，解得$N = m(g - a) - kx$。当$N=0$时，过程结束，此时$x_{max}=\frac{m(g - a)}{k}$，故$N$随$x$变化关系式为：
$N = m(g - a) - kx\quad(0 \leq x \leq \frac{m(g - a)}{k})$
图像：
当$a \to 0$时，$N = mg - kx$，图像为过点$(0, mg)$和$(\frac{mg}{k}, 0)$的直线；
当$a = \frac{g}{2}$时，$N = \frac{mg}{2} - kx$，图像为过点$(0, \frac{mg}{2})$和$(\frac{mg}{2k}, 0)$的直线。
(2) 终态与初态能量差：
动能变化：$\Delta E_k = \frac{m^2a(g - a)}{k}$
重力势能变化：$\Delta E_p = -\frac{m^2g(g - a)}{k}$
弹性势能变化：$\Delta E_{弹} = \frac{m^2(g - a)^2}{2k}$

2 如图所示，小球在光滑轨道上自 $ A $ 点由静止开始沿 $ ABCD $ 路径运动，其中半径为 $ R $ 的环形路径上部正中央有一段缺口 $ CD $，该缺口所对的圆心角为 $ 2\alpha $。问：$ \alpha $ 为何值时，小球完成沿 $ ABCD $ 路径运动所需的离水平面的高度 $ h $ 为最小？$ h $ 的最小值为多少？

答案： 要使小球完成ABCD路径运动，需通过缺口CD的斜抛运动。关键是确定C点速度及利用机械能守恒求h最小值。
关键分析：
1. C、D点位置与斜抛参数：
圆心O在B点正上方R处，C、D关于O对称，圆心角2α。C点坐标：$(-R\sin\alpha, R(1+\cos\alpha))$，D点坐标：$(R\sin\alpha, R(1+\cos\alpha))$。C到D水平距离$2R\sin\alpha$，竖直距离0。
2. C点速度：
切线方向与水平成α角，初速度$v$。斜抛运动中，竖直方向位移为0，时间$t=\frac{2v\sin\alpha}{g}$；水平位移$2R\sin\alpha=v\cos\alpha· t$。联立得$v^2=\frac{Rg}{\cos\alpha}$。
3. 机械能守恒：
A点到C点：$mgh=mgR(1+\cos\alpha)+\frac{1}{2}mv^2$。代入$v^2$得$h=R\left[1+\cos\alpha+\frac{1}{2\cos\alpha}\right]$。
4. 求h最小值：
令$f(\alpha)=\cos\alpha+\frac{1}{2\cos\alpha}$，求导得$f'(\alpha)=\sin\alpha\left(\frac{1}{2\cos^2\alpha}-1\right)$。令$f'(\alpha)=0$，解得$\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\alpha=\frac{\pi}{4}$（45°）。此时$f(\alpha)=\sqrt{2}$，$h_{min}=R(1+\sqrt{2})$。
结论：
当$\alpha=\frac{\pi}{4}$时，$h$最小，最小值为$R(1+\sqrt{2})$。
$\alpha=\frac{\pi}{4}$，$h_{min}=R(1+\sqrt{2})$