《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 1 一列总质量为 $ M $ 的列车，沿平直铁路匀速行驶。某时刻，质量为 $ m $ 的末节车厢脱钩，司机发觉时列车的前部自脱钩处又行驶了距离 $ L $，于是司机立即关闭发动机。设车所受阻力的大小与车重成正比，机车的牵引力恒定。当列车的两部分都停下来后，它们间的距离是多少？
 

答案： 解法Ⅰ（动能定理）
1. 脱钩前列车匀速，牵引力 $ F = \mu Mg $（$\mu$ 为阻力系数）。
2. 对前部列车（质量 $ M-m $），由动能定理：
$ \mu MgL - \mu (M-m)g(L+L_1) = 0 - \frac{1}{2}(M-m)v_0^2 $ ①
3. 对末节车厢（质量 $ m $），由动能定理：
$ -\mu mgL_2 = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2 $，化简得 $ v_0^2 = 2\mu gL_2 $ ②
4. 将②代入①并化简：$ mL = (M-m)(L_1 - L_2) $
5. 距离差 $ \Delta L = (L+L_1) - L_2 = L + (L_1 - L_2) = \frac{ML}{M-m} $
解法Ⅱ（功能原理）
1. 假设司机立即关闭发动机，两部分停下时相距 0。
2. 实际司机多行驶 $ L $，牵引力做功 $ W = \mu MgL $。
3. 前部多行驶 $ \Delta L $，多克服阻力做功 $ W' = \mu (M-m)g\Delta L $。
4. 由 $ W = W' $：$ \mu MgL = \mu (M-m)g\Delta L $，解得 $ \Delta L = \frac{ML}{M-m} $
结论：$\Delta L = \frac{ML}{M - m}$

例 2 如图所示，帆船在静水中顺风漂行。已知空气的密度为 $ \rho $，风速为 $ v_0 $。假设帆的面积为 $ S $，帆面是完全弹性的，求风给帆船可能提供的最大功率。
解析 为使功率最大，帆面必须与风速垂直。设船的速度为 $ v $，则在极短的时间 $ \Delta t $ 内吹到帆面上空气的质量

 

答案： 设船速为$ v $。
1. $ \Delta t $时间内吹到帆面的空气质量：$ \Delta m = \rho S(v_0 - v)\Delta t $。
2. 弹性碰撞，空气反弹速度$ v' = v_0 - 2v $。
3. 由动量定理，风对帆的作用力$ F = \frac{\Delta m[v_0 - v']}{\Delta t} = 2\rho S(v_0 - v)^2 $。
4. 功率$ P = Fv = 2\rho Sv(v_0 - v)^2 $。
5. 由均值不等式，当$ 2v = v_0 - v $即$ v = \frac{v_0}{3} $时，$ P $最大。
6. 最大功率$ P_{max} = \frac{8}{27}\rho Sv_0^3 $。
$\boxed{\dfrac{8}{27}\rho Sv_0^3}$