《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 5
三块长度和质量均相同的木板 $ A $、$ B $、$ C $ 叠放在水平地面 $ D $ 上（如图）。已知 $ A $ 与 $ B $、$ B $ 与 $ C $、$ C $ 与 $ D $ 间的摩擦因数分别为 $ \mu $、$ 2\mu $、$ 3\mu $。用小榔头沿水平方向敲击 $ A $ 使之获得一定的速度，经时间 $ t_{0} $ 恢复静止状态。若用小榔头水平敲击 $ C $ 使之获得同样的速度，需经多长时间系统才能恢复静止状态？

 

答案： 解答过程
一、敲击A时求初速度$v_0$
设每块木板质量为$m$。敲击A后，A相对B滑动，B、C静止。
A与B间滑动摩擦力：$f_{AB}=\mu mg$
A的加速度：$a_{A0}=-\frac{f_{AB}}{m}=-\mu g$
A从$v_0$减速至0，时间$t_0$：$0=v_0+a_{A0}t_0$，解得$v_0=\mu gt_0$。
二、敲击C后运动过程分析
阶段1：B、C加速与减速至共速
C获得初速度$v_0$，A、B静止，各板受力及加速度：
A：受B的滑动摩擦力$\mu mg$（向右），加速度$a_{A1}=\frac{\mu mg}{m}=\mu g$（向右）。
B：受C的滑动摩擦力$f_{BC}=2\mu · 2mg=4\mu mg$（向右），A的滑动摩擦力$\mu mg$（向左），加速度$a_{B1}=\frac{4\mu mg-\mu mg}{m}=3\mu g$（向右）。
C：受B的滑动摩擦力$4\mu mg$（向左）、地面滑动摩擦力$f_{CD}=3\mu · 3mg=9\mu mg$（向左），加速度$a_{C1}=-\frac{4\mu mg+9\mu mg}{m}=-13\mu g$（向左）。
设经$t_1$B、C共速：$v_0+a_{C1}t_1=a_{B1}t_1$，代入$v_0=\mu gt_0$，解得$t_1=\frac{t_0}{16}$。
此时速度：$v_{A1}=a_{A1}t_1=\frac{\mu gt_0}{16}$，$v_{B1}=v_{C1}=a_{B1}t_1=\frac{3\mu gt_0}{16}$。
阶段2：A与B、C共速
B、C共速后假设一起运动，加速度$a_{BC}=-\frac{\mu mg+9\mu mg}{2m}=-5\mu g$（向左），A仍以$a_{A1}=\mu g$加速。
设经$t_2$A与B、C共速：$v_{B1}+a_{BC}t_2=v_{A1}+a_{A1}t_2$，解得$t_2=\frac{t_0}{48}$。
此时共同速度：$v=\frac{\mu gt_0}{12}$。
阶段3：A、B、C分别减速至静止
共速后A、B、C相对滑动，加速度：
A：受向左滑动摩擦力，$a_{A3}=-\mu g$；
B：受向左摩擦力$4\mu mg-\mu mg=3\mu mg$，$a_{B3}=-3\mu g$；
C：受向左摩擦力$9\mu mg-4\mu mg=5\mu mg$，$a_{C3}=-5\mu g$。
A最后停止，时间$t_3=\frac{v}{|\ a_{A3}\ |}=\frac{t_0}{12}$。
三、总时间
$t=t_1+t_2+t_3=\frac{t_0}{16}+\frac{t_0}{48}+\frac{t_0}{12}=\frac{t_0}{6}$。
答案 $\boxed{\dfrac{t_0}{6}}$