《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 4
卫星围绕地球做圆周运动。在运动过程中会受到微弱的大气阻力 $f$，若不补充能量，将缓慢地沿螺旋形轨道接近地球。但因 $f$ 很小，轨道半径 $r$ 变化非常缓慢。已知地球的质量为 $M$，卫星的质量为 $m$。
（1）如果阻力的大小恒定，求卫星在半径为 $r$ 的轨道上运动一周后半径的改变量 $\Delta r$。
（2）如果卫星接近地球的速率恒定，假设阻力 $f = kv^{\alpha}$，则 $\alpha$ 为多少？
 

答案： （1）由牛顿第二定律得：$\frac{GMm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$，解得卫星动能$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{GMm}{2r}$
机械能$E=E_{k}-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{2r}$
运动一周阻力做功$W=-f·2\pi r$
机械能变化$\Delta E=-\frac{GMm}{2(r+\Delta r)}-\left(-\frac{GMm}{2r}\right)=\frac{GMm\Delta r}{2r(r+\Delta r)}\approx\frac{GMm\Delta r}{2r^{2}}$（$\Delta r\ll r$）
由功能原理$W=\Delta E$，即$-2\pi rf=\frac{GMm\Delta r}{2r^{2}}$
解得$\Delta r=-\frac{4\pi r^{3}f}{GMm}$
（2）卫星速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，则$f=kv^{\alpha}=k\left(\frac{GM}{r}\right)^{\frac{\alpha}{2}}$
$\Delta t$时间内阻力做功$\Delta W=-fv\Delta t=-k\left(\frac{GM}{r}\right)^{\frac{\alpha+1}{2}}\Delta t$
机械能变化$\Delta E=\frac{GMm\Delta r}{2r^{2}}=-\frac{GMm}{2r^{2}}\left(-\frac{\Delta r}{\Delta t}\right)\Delta t$
因$-\frac{\Delta r}{\Delta t}$恒定，令其为$u$，则$\Delta E=-\frac{GMmu}{2r^{2}}\Delta t$
由$\Delta W=\Delta E$得：$k\left(\frac{GM}{r}\right)^{\frac{\alpha+1}{2}}=\frac{GMmu}{2r^{2}}$
等式两边$r$的指数需相等：$-\frac{\alpha+1}{2}=-2$
解得$\alpha=3$
（1）$\Delta r=-\frac{4\pi r^{3}f}{GMm}$
（2）$\alpha=3$