《2025年物理竞赛教程高中物理》

1 设某行星的密度与地球密度相等，约为 $ 5.5× 10^{3}\ kg/m^{3} $。若一个在地球上的跳高运动员在该行星上一跃即可逃逸此星球，估算该星球的质量至多为多少？

答案： 1. 运动员起跳速度 $ v_0 = \sqrt{2gh} $，其中 $ g = 9.8 \, m/s^2 $（地球表面重力加速度），估算跳高高度 $ h = 2 \, m $（优秀运动员成绩）。
2. 行星逃逸速度 $ v_{逃} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} $，依题意 $ v_0 = v_{逃} $，故 $ \sqrt{2gh} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} $，化简得 $ gh = \frac{GM}{R} $。
3. 行星密度 $ \rho = \frac{M}{V} = \frac{3M}{4\pi R^3} $，则 $ M = \frac{4}{3}\pi \rho R^3 $，代入 $ gh = \frac{GM}{R} $ 得 $ gh = \frac{G · \frac{4}{3}\pi \rho R^3}{R} $，化简 $ R^2 = \frac{3gh}{4\pi G \rho} $。
4. 代入数据 $ g = 9.8 \, m/s^2 $，$ h = 2 \, m $，$ G = 6.67 × 10^{-11} \, N·m^2/kg^2 $，$ \rho = 5.5 × 10^3 \, kg/m^3 $，解得 $ R = \sqrt{\frac{3 × 9.8 × 2}{4 × 3.14 × 6.67 × 10^{-11} × 5.5 × 10^3}} \approx 3.6 × 10^3 \, m $。
5. 行星质量 $ M = \frac{4}{3}\pi \rho R^3 \approx \frac{4}{3} × 3.14 × 5.5 × 10^3 × (3.6 × 10^3)^3 \approx 1 × 10^{15} \, kg $。
结论： $ 1 × 10^{15} \, kg $

2 用不同的方法估算银河系的质量，所得结果也不相同。以下是诸多估算方法中的一种。
根据观测结果推算，从银河系中心到距离银河系中心 $ R = 3× 10^{9}R_{0} $（$ R_{0} $ 表示地球绕日轨道半径）的范围内观察到的物质质量 $ M_{1} = 1.5× 10^{11}M_{0} $（$ M_{0} $ 表示太阳质量），在距离银河系中心为 $ R $ 处星体运行周期 $ T = 3.75× 10^{8}\ a $（年）。求银河系中“隐藏”的质量，即在半径为 $ R $ 的球体内未被观察到的物质质量。计算时可以认为银河系的质量呈球对称分布。

答案： 1. 设银河系半径$ R $范围内总质量为$ M $，隐藏质量为$ M' $，则$ M' = M - M_1 $。
2. 由万有引力提供向心力：$ G\frac{Mm}{R^2} = m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2R $，化简得$ M = \frac{4\pi^2R^3}{GT^2} $。
3. 地球绕日运动：$ G\frac{M_0m_e}{R_0^2} = m_e\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2R_0 $（$ T_0=1 $年），得$ \frac{4\pi^2}{G} = \frac{M_0T_0^2}{R_0^3} $。
4. 代入$ M $表达式：$ M = M_0\left(\frac{R}{R_0}\right)^3\left(\frac{T_0}{T}\right)^2 $。
5. 代入数据：$ \frac{R}{R_0}=3×10^9 $，$ \frac{T}{T_0}=3.75×10^8 $，则$ M = M_0(3×10^9)^3\left(\frac{1}{3.75×10^8}\right)^2 = 1.92×10^{11}M_0 $。
6. 隐藏质量：$ M' = 1.92×10^{11}M_0 - 1.5×10^{11}M_0 = 4.2×10^{10}M_0 $。
$ 4.2×10^{10}M_0 $

3 在宇宙空间某惯性系中有两个质点 $ A $ 和 $ B $，它们的质量分别为 $ m $ 和 $ M $。开始时，$ A $、$ B $ 相距为 $ L_{0} $，$ A $ 的速度为零，$ B $ 具有沿 $ AB $ 直线背离 $ A $ 运动的速度 $ v_{0} $，另外施加一个沿 $ v_{0} $ 方向的变力 $ F $，使 $ B $ 做匀速运动。
(1) $ A $、$ B $ 间距离的最大值为多少？
(2) 从开始时刻到 $ A $、$ B $ 间距离最大的过程中，变力 $ F $ 所做的功为多少？

答案：
(1) 对质点A，由动能定理得：$ \int_{L_0}^{r_m} \frac{GMm}{r^2} dx_A = \frac{1}{2}mv_0^2 $。
因B匀速运动，其位移$ x_B = v_0 t $，A、B间距$ r = L_0 + x_B - x_A $，且当距离最大时A的速度$ v_A = v_0 $，此时$ \frac{dr}{dt} = 0 $，即$ v_0 = v_A + \frac{dr}{dt} \Rightarrow dr = (v_0 - v_A)dt $。
联立积分与变量代换，解得最大距离：
$ r_m = \frac{2GML_0}{2GM - L_0 v_0^2} $。
(2) 对系统，外力F做功等于A的动能增量与系统势能增量之和。A动能增量$ \frac{1}{2}mv_0^2 $，势能增量$ GMm(\frac{1}{L_0} - \frac{1}{r_m}) $。由
(1)知$ GM(\frac{1}{L_0} - \frac{1}{r_m}) = \frac{1}{2}v_0^2 $，故势能增量为$ \frac{1}{2}mv_0^2 $。
因此F做功：
$ W_F = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}mv_0^2 = mv_0^2 $。
(1) $ \frac{2GML_0}{2GM - L_0 v_0^2} $
(2) $ mv_0^2 $

4 从地球上正对月球发射一火箭，火箭恰好获得能到达月球的能量。问：火箭在何处速度最小？并计算火箭击中月球表面时的速度。月球的运动可以忽略，以下数据均为已知：地球质量 $ M_{e} = 6.0× 10^{24}\ kg $，地球半径 $ R_{e} = 6.4× 10^{6}\ m $，月球质量 $ M_{m} = 7.3× 10^{22}\ kg $，月球半径 $ R_{m} = 1.7× 10^{6}\ m $，地月距离 $ s = 3.8× 10^{8}\ m $，引力常量 $ G = 6.67× 10^{-11}\ N· m^{2}/kg^{2} $。

答案： 火箭在地球与月球连线上的引力平衡点处速度最小；击中月球表面时的速度为$ 7.2 × 10^3 \, m/s $。

5 太空站的质量为 $ M $，与它对接在一起的人造卫星的质量为 $ m $，它们沿圆轨道绕地球运动，轨道半径是地球半径 $ R $ 的 $ n $ 倍。在某一瞬间，人造卫星与太空站脱离，卫星发动机立即点火，经短暂喷气后卫星获得较大的速度，沿其原来运动方向进入椭圆轨道。如果当人造卫星绕地球一周时，刚好能在原处与已绕行 $ N $ 周的太空站对接，那么，卫星喷气后获得的速度应为多大？已知地球质量为 $ M_{e} $。

答案： $ \boxed{\sqrt{\dfrac{GM_e\left(2 - N^{-2/3}\right)}{nR}}} $

6 某行星质量为 $ M $，半径为 $ R $。如图所示，在距该行星中心 $ 10R $ 处有一物体正沿着它与行星中心连线夹角为 $ \alpha = 30^{\circ} $ 的方向向行星靠拢，问此物体的速度至少要多大才能避免与行星发生碰撞？

答案： $ \sqrt{\frac{3GM}{40R}} $

7 如果山高超出某一限度，山基便发生流动（可认为是山基部分物质熔化的结果），从而使山的高度减低。山在这种情况下其高度的小幅降低可视为一小块物质从山顶移至山底。假设该小块物质重力势能的减少与其全部熔化所需要的能量相等，则山的高度达到了上限。一固体星球可视为半径为 $ R $（足够大）的球形均匀固体，构成星球的物质密度为 $ \rho $，引力常量为 $ G $。
(1) 假设山体由同一种物质构成，其熔化热为 $ L $，不考虑温度升到熔点所需的能量，也不考虑压强对熔化热的影响。估算山体高度的上限。
(2) 若山体高度的上限为 $ R/100 $，估算星球半径的上限。
(3) 月球是一个固体星球，其密度和半径分别为 $ 3.34× 10^{3}\ kg/m^{3} $ 及 $ 1.7× 10^{6}\ m $。假设月亮完全由 $ SiO_{2} $ 构成，$ SiO_{2} $ 的熔化热为 $ 2.4× 10^{5}\ J/kg $。估算月球上山体高度的上限。

答案：
(1) 设小块物质质量为$ m $，山体高度上限为$ h $。重力势能减少量$ \Delta E_p = mgh $，熔化所需能量$ Q = mL $。由$ \Delta E_p = Q $得$ mgh = mL $，即$ h = \frac{L}{g} $。星球表面重力加速度$ g = \frac{GM}{R^2} $，星球质量$ M = \frac{4}{3}\pi R^3\rho $，联立得$ g = \frac{4\pi G\rho R}{3} $。故$ h = \frac{3L}{4\pi G\rho R} $。
(2) 由$ h = \frac{R}{100} $及$ h = \frac{3L}{4\pi G\rho R} $，得$ \frac{R}{100} = \frac{3L}{4\pi G\rho R} $，整理得$ R^2 = \frac{75L}{\pi G\rho} $，故$ R = \sqrt{\frac{75L}{\pi G\rho}} $。
(3) 代入数据：$ L = 2.4 × 10^5 \, J/kg $，$ \rho = 3.34 × 10^3 \, kg/m^3 $，$ R = 1.7 × 10^6 \, m $，$ G = 6.67 × 10^{-11} \, N·m^2/kg^2 $。计算得$ h = \frac{3 × 2.4 × 10^5}{4 × 3.14 × 6.67 × 10^{-11} × 3.34 × 10^3 × 1.7 × 10^6} \approx 1.5 × 10^5 \, m $。
(1) $ \frac{3L}{4\pi G\rho R} $
(2) $ \sqrt{\frac{75L}{\pi G\rho}} $
(3) $ 1.5 × 10^5 \, m $