《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 7
两个质量为 $ M $、半径为 $ R $ 的相同圆球 $ A $ 和 $ B $，用两根长为 $ l(l = 2R) $ 的绳悬挂于 $ O $ 点，在两球上另有一个质量为 $ m(m = nM) $、半径为 $ r(r = R/2) $ 的圆球 $ C $，如图 1 所示。已知三球的表面光滑，试讨论此系统处于平衡时，绳与竖直线的夹角 $ \theta $ 与 $ n $ 的关系。


 

答案： ① 当 $ n ＞ \frac{10 + 8\sqrt{10}}{27} \approx 1.3 $ 时，系统不能平衡。
② 当 $ n = \frac{10 + 8\sqrt{10}}{27} \approx 1.3 $ 时，系统平衡，A、B 相互接触且无相互作用力，此时 $ \theta = \arcsin\frac{1}{3} $。
③ 当 $ n ＜ \frac{10 + 8\sqrt{10}}{27} \approx 1.3 $ 时，系统存在两种平衡状态：
a. A、B 相互接触且有相互作用力，此时 $ \theta = \arcsin\frac{1}{3} $；
b. A、B 相互分开，此时 $ \theta = \arcsin\sqrt{\frac{4 + 4n - 3n^2}{16(1 + n)}} $。