《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 3
如图所示，质量为 $ M $ 的载重卡车 $ A $ 的水平底板上有质量为 $ m $ 的重物 $ B $，在水平直路上以速度 $ v_{0} $ 匀速运动，重物与车厢前壁的距离为 $ L $。已知车轮与地面间的摩擦因数为 $ \mu_{1} $，重物与车厢底板间的摩擦因数为 $ \mu_{2}(\mu_{2} \lt \mu_{1}) $。因发生紧急情况，卡车突然制动。

(1) 若重物与车厢前壁不会相撞，试导出其条件；
(2) 若重物与车厢前壁会相撞，试求出从开始刹车到相碰的时间。
 

答案：
(1) 对卡车和重物分别应用牛顿第二定律：
卡车加速度：$\mu_1(M+m)g - \mu_2mg = Ma_1 \implies a_1 = \frac{\mu_1M + (\mu_1 - \mu_2)m}{M}g$
重物加速度：$\mu_2mg = ma_2 \implies a_2 = \mu_2g$
卡车先停止，不相撞条件：重物滑行距离 ＜ 卡车滑行距离 + $L$
$\frac{v_0^2}{2a_2} ＜ \frac{v_0^2}{2a_1} + L$
代入$a_1,a_2$化简得：
$L ＞ \frac{(\mu_1 - \mu_2)(M + m)v_0^2}{2\mu_2[\mu_1M + (\mu_1 - \mu_2)m]g}$
(2) 相撞时间：
情况1：卡车停止前相撞
位移关系：$v_0t - \frac{1}{2}a_2t^2 = v_0t - \frac{1}{2}a_1t^2 + L$
解得：$t = \sqrt{\frac{2ML}{(\mu_1 - \mu_2)(M + m)g}}$
情况2：卡车停止后相撞
位移关系：$v_0t - \frac{1}{2}a_2t^2 = \frac{v_0^2}{2a_1} + L$
解得：$t = \frac{v_0}{\mu_2g}\left[1 - \sqrt{\frac{(\mu_1 - \mu_2)(M + m)}{\mu_1M + (\mu_1 - \mu_2)m} - \frac{2\mu_2gL}{v_0^2}}\right]$
答案
(1) $L ＞ \frac{(\mu_1 - \mu_2)(M + m)v_0^2}{2\mu_2[\mu_1M + (\mu_1 - \mu_2)m]g}$
(2) 卡车停止前相撞：$t = \sqrt{\frac{2ML}{(\mu_1 - \mu_2)(M + m)g}}$；
卡车停止后相撞：$t = \frac{v_0}{\mu_2g}\left[1 - \sqrt{\frac{(\mu_1 - \mu_2)(M + m)}{\mu_1M + (\mu_1 - \mu_2)m} - \frac{2\mu_2gL}{v_0^2}}\right]$