《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 4
有一足球运动员甲自 $ A $ 点向球门的 $ B $ 点踢出球，已知 $ A $、$ B $ 间的距离为 $ s $，球自 $ A $ 向 $ B $ 的运动可视为水平地面上的匀速直线运动，速率为 $ u $。另一运动员乙与 $ AB $ 连线的距离为 $ l $，与 $ A $、$ B $ 两点的距离相等，以速度 $ v $ 沿直线做匀速运动去拦截该球。设运动员乙开始出发去拦截球的时刻与球被运动员甲踢出的时刻相同。
（1）如果运动员乙能拦截到球，求他开始出发去拦截球直至拦截到球的时间间隔、球被拦截时球到 $ A $ 点的距离、球到运动员乙出发点的距离和乙运动方向与 $ AB $ 垂线的夹角。
（2）为了使运动员乙能拦截到球，$ u $、$ v $、$ s $ 和 $ l $ 应当满足什么条件？
 

答案： （1）设经时间$t$，运动员乙在$D$点拦截到球，根据勾股定理和运动学公式，有：
$\left(ut - \frac{s}{2}\right)^2 + l^2 = (vt)^2$。
整理得：
$t = \frac{us \pm \sqrt{(us)^2 - 4(u^2 - v^2)\left(\frac{s^2}{4} + l^2\right)}}{2(u^2 - v^2)}$。
球被拦截时到$A$点的距离：
$s_1 = ut = u · \frac{us \pm \sqrt{(us)^2 - 4(u^2 - v^2)\left(\frac{s^2}{4} + l^2\right)}}{2(u^2 - v^2)}$。
球到运动员乙出发点的距离：
$s_2 = vt = v · \frac{us \pm \sqrt{(us)^2 - 4(u^2 - v^2)\left(\frac{s^2}{4} + l^2\right)}}{2(u^2 - v^2)}$。
乙运动方向与$AB$垂线的夹角$\theta$：
$\theta = \arctan\left(\frac{s_1 - \frac{s}{2}}{l}\right) = \arctan\left(\frac{v^2s \pm u\sqrt{(us)^2 - 4(u^2 - v^2)\left(\frac{s^2}{4} + l^2\right)}}{2(u^2 - v^2)l}\right)$。
（2）为使$t$为实数解，必须满足：
$(us)^2 - 4(u^2 - v^2)\left(\frac{s^2}{4} + l^2\right) \geq 0$。
整理得：
$v \geq \frac{2l}{\sqrt{4l^2 + s^2}}u$。
当等号成立时，$t$为唯一解，此时$\theta = \arctan\left(\frac{2l}{s}\right)$，即$CD \perp AC$，且$D$点必须在$B$点的前面，即$s \geq 2l$。若$s ＜ 2l$，则$t$和$\theta$只有一个解（取负号）；若$s ＞ 2l$，当不等式成立时，$t$和$\theta$有两个解，但$\theta ＜ \arctan\left(\frac{2l}{s}\right)$。