《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 8
如图 1 所示，滑块 $ A $ 的质量为 $ M $，斜面倾角为 $ \alpha $，置于水平面上。滑块 $ B $ 的质量为 $ m $，置于 $ A $ 的斜面上。由静止开始释放系统，不计一切摩擦，$ A $、$ B $ 自由滑动时的加速度各为多大？

 

答案： 滑块A的加速度
1. 对滑块A受力分析：水平方向仅受B的弹力$N_{BA}$的水平分量，由牛顿第二定律得：
N_{BA}\sin\alpha = Ma_A \quad ①
2. 对滑块B垂直斜面方向分析：A、B在垂直斜面方向无相对运动，加速度相等。B的垂直斜面加速度为$a_A\sin\alpha$，受力方程为：
mg\cos\alpha - N_{AB} = ma_A\sin\alpha \quad ②
3. 牛顿第三定律：$N_{BA} = N_{AB} \quad ③$
4. 联立①②③解得：
a_A = \frac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}
滑块B的加速度
1. 水平方向动量守恒：系统水平方向不受外力，由质点系牛顿第二定律得：
Ma_A + ma_x = 0 \implies a_x = -\frac{M}{m}a_A = -\frac{Mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}
2. 竖直方向受力分析：对B竖直方向列方程：
mg - N_{AB}\cos\alpha = ma_y
代入$N_{AB} = mg\cos\alpha - ma_A\sin\alpha$，解得：
a_y = \frac{(M + m)g\sin^2\alpha}{M + m\sin^2\alpha}
3. B的加速度大小：
a_B = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \frac{g\sin\alpha}{M + m\sin^2\alpha}\sqrt{M^2 + (2M + m)m\sin^2\alpha}
最终结论
滑块A的加速度大小：$\boxed{\frac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}}$
滑块B的加速度大小：$\boxed{\frac{g\sin\alpha}{M + m\sin^2\alpha}\sqrt{M^2 + (2M + m)m\sin^2\alpha}}$