《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 9
如图所示，一质量为 $ m $、底边 $ AB $ 长为 $ b $、腰长为 $ a $ 的均匀等腰三角形平板，可绕通过光滑铰链支点 $ A $ 和 $ B $ 的水平轴 $ x $ 自由转动。图中原点 $ O $ 位于 $ AB $ 的中点，$ y $ 轴垂直板面斜向上，$ z $ 轴在板面上通过三角形顶点 $ C $。今在平板上任一给定点 $ M_{0}(x_{0}, 0, z_{0}) $ 加一垂直于板面的拉力 $ Q $。
（1）若平衡时平板与竖直方向的夹角为 $ \varphi $，求拉力 $ Q $ 以及铰链支点 $ A $、$ B $ 对平板的作用力 $ N_{A} $ 和 $ N_{B} $。
（2）若在平板上缓慢改变拉力 $ Q $ 的作用点 $ M $ 的位置，使平衡时平板与竖直方向的夹角仍为 $ \varphi $，则改变的作用点 $ M $ 形成的轨迹满足什么条件时，可使铰链支点 $ A $ 或 $ B $ 对平板作用力的垂直平板的分量在 $ M $ 变动中保持不变？

 

答案： （1）求解拉力 $ Q $ 及铰链作用力 $ N_A $、$ N_B $
已知条件
平板质量 $ m $，底边 $ AB = b $，腰长 $ a $，质心到 $ x $ 轴距离 $ h = \frac{1}{3}\sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} $。
平衡时平板与竖直方向夹角 $ \varphi $，拉力 $ Q $ 作用于 $ M_0(x_0, 0, z_0) $，方向垂直板面（$ y $ 轴方向）。
受力分析与平衡方程
力平衡条件（各方向合力为零）：
$\begin{cases}N_{Ax} + N_{Bx} = 0 & (x轴) \\Q + N_{Ay} + N_{By} - mg\sin\varphi = 0 & (y轴) \\N_{Az} + N_{Bz} - mg\cos\varphi = 0 & (z轴)\end{cases}$
力矩平衡条件（对 $ x, y, z $ 轴力矩之和为零）：
$\begin{cases}mgh\sin\varphi - Qz_0 = 0 & (x轴，重力与拉力力矩平衡) \\N_{Bz} · \frac{b}{2} - N_{Az} · \frac{b}{2} = 0 & (y轴，铰链 z 向力力矩平衡) \\Qx_0 + N_{Ay} · \frac{b}{2} - N_{By} · \frac{b}{2} = 0 & (z轴，拉力与铰链 y 向力力矩平衡)\end{cases}$
求解结果
联立上述方程，解得：
拉力 $ Q $：
$ Q = \frac{mgh\sin\varphi}{z_0} $
铰链 $ A $ 作用力 $ N_A $：
$ N_A = \left( N_{Ax},\ \frac{mg\sin\varphi}{2}\left[1 - \frac{h}{z_0}\left(1 + \frac{2x_0}{b}\right)\right],\ \frac{1}{2}mg\cos\varphi \right) $
铰链 $ B $ 作用力 $ N_B $：
$ N_B = \left( -N_{Ax},\ \frac{mg\sin\varphi}{2}\left[1 - \frac{h}{z_0}\left(1 - \frac{2x_0}{b}\right)\right],\ \frac{1}{2}mg\cos\varphi \right) $
（其中 $ N_{Ax} $ 为任意值，满足 $ N_{Ax} = -N_{Bx} $）
（2）作用点 $ M $ 的轨迹条件
若 $ N_{Ay} $ 保持不变
需满足：
$\frac{h}{z}\left(1 + \frac{2x}{b}\right) = 常量$
解得轨迹方程：
$x = \frac{1}{z_0}\left(\frac{b}{2} + x_0\right)z - \frac{b}{2}$
轨迹：通过 $ M_0(x_0, 0, z_0) $ 和 $ B\left(-\frac{b}{2}, 0, 0\right) $ 的直线。
若 $ N_{By} $ 保持不变
同理可得轨迹方程：
$x = -\frac{1}{z_0}\left(\frac{b}{2} - x_0\right)z + \frac{b}{2}$
轨迹：通过 $ M_0(x_0, 0, z_0) $ 和 $ A\left(\frac{b}{2}, 0, 0\right) $ 的直线。
最终结论
（1）拉力 $ Q = \frac{mgh\sin\varphi}{z_0} $，铰链作用力如上述表达式；
（2）轨迹为通过 $ B $ 点（或 $ A $ 点）的直线。