《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 7 一个半径为 $ r $、质量为 $ m $ 的均匀实心小圆柱被置于半径为 $ R $、质量为 $ M $ 的薄圆筒中，两者的中心轴水平，截面如图 1 所示。试求下列两种情况下圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率。
（1）圆筒固定，圆柱在圆筒内做纯滚动；
（2）圆筒可绕固定的光滑中心轴 $ O $ 转动，圆柱在圆筒内做纯滚动。

 
 

答案： （1）设圆筒与圆柱中心连线与竖直方向夹角为θ，质心切向加速度为$a_t$。
由质心运动定理：$F - mg\sin\theta = ma_t$
几何关系：$R\theta = r(\theta_1 + \theta)$，得$a_t = (R - r)\frac{d^2\theta}{dt^2} = r\frac{d^2\theta_1}{dt^2}$
圆柱转动惯量$I = \frac{1}{2}mr^2$，转动定律：$-rF = I\frac{d^2\theta_1}{dt^2}$
微振动$\sin\theta \approx \theta$，联立解得$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{2g}{3(R - r)}\theta = 0$
振动频率$f_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2g}{3(R - r)}}$
（2）设圆柱相对自身轴转角$\theta_1$，圆筒相对自身轴转角$\theta_2$，连线与竖直方向夹角$\theta$。
圆柱转动定律：$-rF = \frac{1}{2}mr^2\frac{d^2\theta_1}{dt^2}$
圆筒转动定律：$RF = MR^2\frac{d^2\theta_2}{dt^2}$
几何关系：$R\theta = r(\theta_1 + \theta) - R\theta_2$，得$(R - r)\frac{d^2\theta}{dt^2} = r\frac{d^2\theta_1}{dt^2} - R\frac{d^2\theta_2}{dt^2}$
质心运动定理：$F - mg\sin\theta = m(R - r)\frac{d^2\theta}{dt^2}$
微振动$\sin\theta \approx \theta$，联立解得$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{(2M + m)g}{(3M + m)(R - r)}\theta = 0$
振动频率$f_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{(2M + m)g}{(3M + m)(R - r)}}$