《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 1 如图 1 所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，线端 $ A $ 点的速度为 $ v $。以铰链固定于 $ B $ 点的木板靠在线轴上，线轴的内、外半径分别为 $ r $ 和 $ R $。木板与水平面间的夹角用 $ \alpha $ 表示，试确定木板的角速度 $ \omega $ 与 $ \alpha $ 的关系。

 

答案： 解：线轴纯滚动，设绕轴心$O$转动的角速度为$\omega_0$，轴心速度为$v_0$。线端$A$速度$v = \omega_0(R + r)$，故$\omega_0 = \frac{v}{R + r}$，则$v_0 = \omega_0 R = \frac{Rv}{R + r}$。
线轴上与木板相切的$D$点速度为平动$v_0$与转动速度$u = \omega_0 R$的矢量和，其沿$DO$方向分量$v_{D1} = v_0 \sin\alpha = \frac{Rv \sin\alpha}{R + r}$。
木板绕$B$点转动，接触点$C$速度$v_C = \omega · R \cot\frac{\alpha}{2}$（方向沿$DO$）。
由$v_C = v_{D1}$，得$\omega R \cot\frac{\alpha}{2} = \frac{Rv \sin\alpha}{R + r}$。
因$\cot\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$，代入化简得$\omega = \frac{v(1 - \cos\alpha)}{R + r}$。
结论：$\omega = \frac{v(1 - \cos\alpha)}{R + r}$

例 2 如图 1 所示，边长为 $ l $ 的等边三角形薄板 $ ABC $ 在其所在平面内运动。某时刻 $ A $ 点的速度大小 $ v_A = \omega_0 l $，方向指向 $ C $，加速度大小 $ a_A = 2\omega_0^2 l $，方向指向 $ C $；$ B $ 点的速度大小 $ v_B = \omega_0 l / 2 $，加速度大小 $ a_B = \omega_0^2 l / 2 $。求此时刻 $ C $ 点速度和加速度的大小。

 

答案： $v_C=\frac{\sqrt{7}}{2}\omega_0 l$；$a_C=\frac{\sqrt{13}}{2}\omega_0^2 l$或$\frac{5}{2}\omega_0^2 l$。