《2025年物理竞赛教程高中物理》

10 如图所示，有一固定的、半径为 $ a $、内壁光滑的半球形碗（碗口处于水平位置），$ O $ 为球心。碗内搁置一质量为 $ m $、边长为 $ a $ 的等边三角形均匀薄板 $ ABC $。板的顶点 $ A $ 位于碗内最低点，碗的最低点处对 $ A $ 有某种约束使顶点 $ A $ 不能滑动（板只能绕 $ A $ 点转动）。
（1）当三角形薄板达到平衡时，碗对顶点 $ A $、$ B $、$ C $ 的作用力的大小各为多少？
（2）当板处于上述平衡状态时，若解除对 $ A $ 点的约束，让它能在碗的内表面上从静止开始自由滑动，求此后三角形薄板可能具有的最大动能。

答案： （1）$\frac{\sqrt{6}mg}{3}$，$\frac{mg}{3}$，$\frac{mg}{3}$
（2）$\frac{mga(\sqrt{6} - 2)}{3}$