《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 6
以一定的初速度 $ v_0 $ 向斜上方抛出一个小球，为使小球在整个运动过程中与抛出点的距离一直增大，抛射角 $ \alpha $ 应满足什么条件？不计空气阻力。
 

答案： 建立坐标系，小球运动方程：
$x = v_0 t \cos\alpha$，$y = v_0 t \sin\alpha - \frac{1}{2} g t^2$
$t$时刻与抛出点距离$s$，则$s^2 = x^2 + y^2$，代入得：
$s^2 = (v_0 t \cos\alpha)^2 + \left(v_0 t \sin\alpha - \frac{1}{2} g t^2\right)^2 = \frac{1}{4} g^2 t^4 - g v_0 t^3 \sin\alpha + v_0^2 t^2$
对$s^2$求导：
$\frac{ds^2}{dt} = (g^2 t^2 - 3g v_0 t \sin\alpha + 2v_0^2)t$
因$t ＞ 0$，要使$s$一直增大，需$g^2 t^2 - 3g v_0 t \sin\alpha + 2v_0^2 ＞ 0$恒成立。该二次函数开口向上，判别式$\Delta ＜ 0$：
$(-3g v_0 \sin\alpha)^2 - 4 · g^2 · 2v_0^2 ＜ 0$
$9g^2 v_0^2 \sin^2\alpha - 8g^2 v_0^2 ＜ 0$
$\sin^2\alpha ＜ \frac{8}{9}$，即$\sin\alpha ＜ \frac{2\sqrt{2}}{3}$
故$\alpha ＜ \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 70.5°$
结论：抛射角$\alpha$应满足$\alpha ＜ 70.5°$。