《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 4
将质量为 $ m $ 的球以初速度 $ v_{0} $ 竖直向上抛出。假设空气阻力与球的速度成正比：$ f = \alpha v $，其中 $ \alpha $ 是空气阻力系数。如果 $ \alpha $ 足够大，球返回到抛出点前已达到稳定的运动状态，确定球从被抛出到返回抛出点所经历的时间。
 

 

答案： 上升过程：由牛顿第二定律 $m\frac{dv}{dt}=-(mg+\alpha v)$，变形得 $dv=-gdt-\frac{\alpha}{m}dh$。积分 $\int_{v_0}^{0}dv=-\int_{0}^{t_1}gdt-\frac{\alpha}{m}\int_{0}^{h}dh$，得 $-v_0=-gt_1-\frac{\alpha h}{m}$，故 $t_1=\frac{v_0}{g}-\frac{\alpha h}{mg}$。
下降过程：稳定时 $mg=\alpha v_t$，得 $v_t=\frac{mg}{\alpha}$。由牛顿第二定律 $m\frac{dv}{dt}=mg-\alpha v$，变形得 $dv=gdt-\frac{\alpha}{m}dh$。积分 $\int_{0}^{v_t}dv=\int_{0}^{t_2}gdt-\frac{\alpha}{m}\int_{0}^{h}dh$，得 $v_t=gt_2-\frac{\alpha h}{m}$，故 $t_2=\frac{v_t}{g}+\frac{\alpha h}{mg}=\frac{m}{\alpha}+\frac{\alpha h}{mg}$。
总时间：$t=t_1+t_2=\left(\frac{v_0}{g}-\frac{\alpha h}{mg}\right)+\left(\frac{m}{\alpha}+\frac{\alpha h}{mg}\right)=\frac{v_0}{g}+\frac{m}{\alpha}$。
结论：$t=\frac{v_0}{g}+\frac{m}{\alpha}$。