《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 7
一圆盘沿顺时针方向绕过圆盘中心 $ O $ 并与盘面垂直的固定水平转轴以匀角速度 $ \omega = 4.43 rad/s $ 转动。圆盘半径 $ r = 1.00 m $，圆盘正上方有一水平天花板。设圆盘边缘各处始终有水滴被甩出。现发现天花板上只有一处有水。取重力加速度 $ g = 9.80 m/s^2 $，求：
（1）天花板相对于圆盘中心 $ O $ 的高度；
（2）天花板上有水的那一点的位置坐标。
 

答案： （1）以圆盘中心$ O $为原点建立坐标系，$ x $轴水平向右，$ y $轴竖直向上。水滴从边缘$ P $点甩出，坐标$ (x_0,y_0)=(-r\cos\theta,r\sin\theta) $，初速度$ v_0=r\omega $，分量$ v_{0x}=r\omega\sin\theta $，$ v_{0y}=r\omega\cos\theta $。水滴最大高度为：
$ y_{max}=r\sin\theta+\frac{(r\omega\cos\theta)^2}{2g} $
令$ \sin\theta=x $，则$ y_{max}=rx+\frac{(r\omega)^2(1-x^2)}{2g} $。对$ x $求导并令导数为0，得$ x=\frac{g}{\omega^2r} $。代入得：
$ y_{max}=\frac{(r\omega)^2}{2g}+\frac{g}{2\omega^2} $
代入数据$ r=1\,m $，$ \omega=4.43\,rad/s $，$ g=9.8\,m/s^2 $：
$ y_{max}=\frac{(1×4.43)^2}{2×9.8}+\frac{9.8}{2×4.43^2}=1.25\,m $
（2）由$ \sin\theta=\frac{g}{\omega^2r}=0.5 $，得$ \theta=30° $。运动时间$ t=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{r\omega\cos\theta}{g} $。水平位移：
$ x=x_0+v_{0x}t=-r\cos\theta+\frac{(r\omega)^2\sin\theta\cos\theta}{g}=0 $
位置坐标为$ (0,\,1.25\,m) $。
答案
（1）$ 1.25\,m $
（2）$ (0,\,1.25\,m) $