《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 6 用质量为 $ M $ 的铁锤沿水平方向将质量为 $ m $、长度为 $ l $ 的铁钉敲入木板。铁锤每次以相同的速度 $ v_0 $ 敲击，随即与铁钉一起运动。铁钉每次进入木板的过程中受到的平均阻力均为前一次的 $ k(k ＞ 1) $ 倍。
（1）若敲击 $ 3 $ 次后铁钉恰好全部进入木板，求铁钉第一次进入木板过程中受到的平均阻力。
（2）若第一次敲击使铁钉进入木板的深度为 $ l_1 $，则应敲击多少次才能使铁钉全部进入木板？要使铁钉全部进入木板，$ l_1 $ 应满足什么条件？
 

答案： （1）
铁锤每次敲击后与铁钉共同运动的速度由动量守恒：
$Mv_0 = (M + m)v \implies v = \frac{Mv_0}{M + m}$。
铁钉每次进入木板时，动能转化为阻力做功：
第一次：$\frac{1}{2}(M + m)v^2 = fl_1$，
第二次：$\frac{1}{2}(M + m)v^2 = kfl_2 \implies l_2 = \frac{l_1}{k}$，
第三次：$\frac{1}{2}(M + m)v^2 = k^2fl_3 \implies l_3 = \frac{l_1}{k^2}$。
总位移：
$l_1 + l_2 + l_3 = l \implies l_1 + \frac{l_1}{k} + \frac{l_1}{k^2} = l \implies l_1 = \frac{k^2l}{1 + k + k^2}$。
阻力$f$：
$f = \frac{\frac{1}{2}(M + m)\left(\frac{Mv_0}{M + m}\right)^2}{l_1} = \frac{M^2v_0^2}{2(M + m)l_1} = \frac{M^2v_0^2(1 + k + k^2)}{2k^2(M + m)l}$。
最终答案：
$f = \frac{(1 + k + k^2)M^2v_0^2}{2k^2(M + m)l}$。
（2）
总位移：
$l_1\left(1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} + ·s + \frac{1}{k^{n-1}}\right) = l$。
等比数列求和：
$1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} + ·s + \frac{1}{k^{n-1}} = \frac{1 - \frac{1}{k^n}}{1 - \frac{1}{k}} = \frac{k(1 - k^{-n})}{k - 1}$。
解得：
$\frac{k(1 - k^{-n})}{k - 1} = \frac{l}{l_1} \implies 1 - k^{-n} = \frac{(k - 1)l}{kl_1} \implies k^{-n} = 1 - \frac{(k - 1)l}{kl_1}$。
取对数：
$-n\ln k = \ln\left(1 - \frac{(k - 1)l}{kl_1}\right) \implies n = \frac{\ln\left[\frac{kl_1 - (k - 1)l}{kl_1}\right]}{-\ln k} = \frac{\ln\left[1 - \frac{l}{l_1}\left(1 - \frac{1}{k}\right)\right]}{\ln\frac{1}{k}}$。
敲击次数：
若$n$为整数，则敲击$n$次；否则取整加$1$，即$n' = [n] + 1$。
条件：
$1 - \frac{l}{l_1}\left(1 - \frac{1}{k}\right) ＞ 0 \implies l_1 ＞ \left(1 - \frac{1}{k}\right)l$。
最终答案：
敲击次数：$n = \frac{\ln\left[1 - \frac{l}{l_1}\left(1 - \frac{1}{k}\right)\right]}{\ln\frac{1}{k}}$，若非整数则取$n' = [n] + 1$；
条件：$l_1 ＞ \left(1 - \frac{1}{k}\right)l$。