《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

典例 1
(多选题) 函数 $ y = f(x) $ 的导函数的图象如图所示，给出下列判断，正确的是 ( )


A.函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ (3, 5) $ 上单调递增
B.函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ (-2, 2) $ 上单调递增
C.当 $ x = -\frac{1}{2} $ 时，函数 $ y = f(x) $ 取极大值
D.当 $ x = 2 $ 时，函数 $ y = f(x) $ 取极大值

答案： BD 对于A，当$x \in (3,4)$时，$f^{\prime}(x) ＜ 0$，$f(x)$单调递减，当$x \in (4,5)$时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，$f(x)$单调递增，所以A错误；
对于B，当$x \in (-2,2)$时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，$f(x)$单调递增，所以B正确；对于C，当$x \in (-2,2)$时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，$f(x)$单调递增，
故当$x = -\frac{1}{2}$时，函数$y = f(x)$不取极大值，所以C错误；
对于D，当$x \in (-2,2)$时，$f(x)$单调递增，当$x \in (2,4)$时，$f(x)$单调递减，所以当$x = 2$时，函数$y = f(x)$取极大值，所以D正确.故选BD.

已知函数 $ y = f'(x) $ 的图象如图所示，则关于函数 $ y = f(x) $ 的说法正确的是 ( )


A.函数 $ y = f(x) $ 有 3 个极值点
B.函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ (-\infty, -4) $ 上单调递增
C.函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ (-2, +\infty) $ 上单调递增
D.当 $ x = 0 $ 时，函数 $ y = f(x) $ 取得极大值

答案： C 结合导数与函数单调性的关系可知，当$x ＜ -5$时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，函数单调递增，当$-5 ＜ x ＜ -2$时，$f^{\prime}(x) ＜ 0$，函数单调递减，当$x ＞ -2$时，$f^{\prime}(x) \geq 0$，函数单调递增，故当$x = -5$时，函数取得极大值，当$x = -2$时，函数取得极小值，所以D错误；故函数$y = f(x)$有2个极值点，故A错误；函数$y = f(x)$的单调递增区间为$(-\infty, -5)$，$(-2, +\infty)$；单调递减区间为$(-5, -2)$，故B错误，C正确.故选C.

问题 3. 你能求出函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的极值点吗？并判断是极大值点还是极小值点.

答案： 问题3.$f^{\prime}(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)$，令$f^{\prime}(x) = 0$，得$x = 1$或$x = -1$，当$x \in (-\infty, -1)$时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，$f(x)$单调递增；当$x \in (-1,1)$时，$f^{\prime}(x) ＜ 0$，$f(x)$单调递减；当$x \in (1, +\infty)$时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，$f(x)$单调递增.则函数$f(x) = x^3 - 3x$的极大值点为$x = -1$；极小值点为$x = 1$.

典例 2
(链教材 P80 例 2) 求函数 $ f(x) = 3x^3 - x + 1 $ 的极值点.
听课笔记：
变式探究
(变条件) 求函数 $ f(x) = xe^x - x^2 - 2x $ 的极值点.

答案： 解：$f^{\prime}(x) = 9x^2 - 1$，
令$f^{\prime}(x) = 0$，得$x_1 = -\frac{1}{3},x_2 = \frac{1}{3}$.
当$x ＜ -\frac{1}{3}$时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，函数在$(-\infty, -\frac{1}{3})$上单调递增；
当$-\frac{1}{3} ＜ x ＜ \frac{1}{3}$时，$f^{\prime}(x) ＜ 0$，函数在$(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$上单调递减，所以$x_1 = -\frac{1}{3}$是函数的极大值点.
当$x ＞ \frac{1}{3}$时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，函数在$(\frac{1}{3}, +\infty)$上单调递增，所以$x_2 = \frac{1}{3}$是函数的极小值点.
[变式探究]
解：函数$f(x) = xe^x - x^2 - 2x$的定义域为$\mathbf{R}$，$f^{\prime}(x) = (x + 1)e^x - 2x - 2 = (x + 1)(e^x - 2)$，
令$f^{\prime}(x) = 0$可得$x = -1$或$x = \ln 2$，列表如下：
$x$ $(-\infty, -1)$ $-1$ $(-1, \ln 2)$ $\ln 2$ $(\ln 2, +\infty)$
$f^{\prime}(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ 增 极大值 减 极小值 增
所以，函数$f(x)$的极大值点为$-1$，极小值点为$\ln 2$.