《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

典例 1
在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{n}=n^{2}-8n$，画出$\{a_{n}\}$的图象.
听课笔记：

答案：
典例1 解：列表：
$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $·s$
$a_n$ -7 -12 -15 -16 -15 -12 -7 0 9 $·s$
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列$\{a_n\}$的图象：$(1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,9),·s$，图象如图所示.
　　　　　　　　

根据数列的通项公式，写出数列的前$5$项，并用图象表示出来：
(1) $a_{n}=(-1)^{n}+2$；
(2) $a_{n}=\frac{n + 1}{n}$.

答案：
对点练1.
(1)$a_1 = 1,a_2 = 3,a_3 = 1,a_4 = 3,a_5 = 1$.图象如图①.
(2)$a_1 = 2,a_2 = \frac{3}{2},a_3 = \frac{4}{3},a_4 = \frac{5}{4},a_5 = \frac{6}{5}$.图象如图②.
　　　 　　　

问题 3. 已知图①是数列：$3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，$9$的图象，图②是数列：$1$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{7}$的图象，图③是$5300$，$5300$，$5300$，$·s$，$5300$的图象. 观察图象，你能说出每个数列中项的变化规律吗？

答案： 问题3.数列的图象是由一些点组成的，图①数列中的项逐渐变大，对应的函数图象是上升的.图②数列中的项逐渐变小，对应的图象是下降的.图③数列中的项不变，这些点在与$x$轴平行的一条直线上.

数列的增减性

[微提醒] (1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性. (2)一个数列$\{a_{n}\}$，如果从第$2$项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列.
[微思考] 若函数$y = f(x)$在区间$[1,+\infty)$上是单调递增函数，那么数列$a_{n}=f(n)$一定是递增数列吗？反之，是否一定成立？

答案： [微思考] 一定是递增数列，反之，不一定成立，例如$a_n = n^2 - \frac{5}{2}n(n\in N_+)$是递增数列，但$f(x) = x^2 - \frac{5}{2}x$在区间$[1,+\infty)$上不单调.