《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

1. 等比数列 $ \{ a_{n}\} $ 的首项 $ a_{1} = 1 $，公比 $ q = 2 $，则 $ S_{6} $ 等于 ( )

A.-63
B.31
C.-31
D.63

答案： $D S_{6}=\frac{1×(1-2^{6})}{1-2}=2^{6}-1=64-1=63.$故选D.

2. 设 $ S_{n} $ 为等比数列 $ \{ a_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和且 $ S_{n} = 3^{n + 1} - A $，则 $ A = $ ( )

A.$ -\frac{1}{3} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.-3
D.3

答案： D由$S_{n}=3^{n+1}-A=3×3^{n}-A，$所以A=3.故选D.

3. (2023·全国甲卷) 设等比数列 $ \{ a_{n}\} $ 的各项均为正数，前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，若 $ a_{1} = 1 $，$ S_{5} = 5S_{3} - 4 $，则 $ S_{4} = $ ( )

A.$ \frac{15}{8} $
B.$ \frac{65}{8} $
C.15
D.40

答案： C由题知$1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}=5(1+q+q^{2})-4，$即$q^{3}+q^{4}$
$=4q+4q^{2}，$即$q^{3}+q^{2}-4q-4=0，$即(q-2)(q+1)(q+2)
=0.由题知q＞0，所以q=2.所以$S_{4}=1+2+4+8=15.$故
选C.

4. 某病毒研究所为了更好地研究某病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费. 已知第一到第五实验室的设备费依次构成等比数列，且第一实验室的设备费为 3 万元，第三实验室的设备费为 12 万元，则该研究所改建这五个实验室投入的设备费总共为 万元.
请完成课时分层评价 9

答案： 93设第n个实验室的设备费为$a_{n}$万元，各实验室的设备
费构成的等比数列的公比为q，则q＞0.由题意可得$a_{1}=3，$
$a_{3}=12，$故$a_{1}q^{2}=12，$解得q=2.所以改建这五个实验室投
入的设备费总共为$\frac{a_{1}(1-q^{5})}{1-q}=\frac{3×(1-2^{5})}{1-2}=93($万元).

问题 1. 你能否用等比数列 $ \{ a_{n} \} $ 中的 $ S_{m}, S_{n} $ 来表示 $ S_{m + n} $？

答案： 思路一：$S_{m+n}=a_1+a_2+·s+a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+·s+a_{m+n}=S_m+a_1q^m+a_2q^m+·s+a_mq^m=S_m+q^mS_m$.
思路二：$S_{m+n}=a_1+a_2+·s+a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+·s+a_{n+m}=S_n+a_1q^n+a_2q^n+·s+a_mq^n=S_n+q^nS_m$.

问题 2. 类似于等差数列中的“片段和”的性质，在等比数列中，你能发现 $ S_{n}, S_{2n} - S_{n}, S_{3n} - S_{2n}, ·s $（$ n $ 为偶数且 $ q = - 1 $ 除外）的关系吗？

答案： $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$，⋯仍成等比数列，证明如下：
思路一：当$q=1$时，结论显然成立；
当$q\neq1$时，$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，$S_{2n}=\frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q}$，$S_{3n}=\frac{a_1(1-q^{3n})}{1-q}$.$S_{2n}-S_n=\frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q}-\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}·\frac{q^n(1-q^n)}{1-q}$（此处原书疑似印刷错误，已按照逻辑修正），$S_{3n}-S_{2n}=\frac{a_1(1-q^{3n})}{1-q}-\frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q}=\frac{a_1q^{2n}(1-q^n)}{1-q}$，而$(S_{2n}-S_n)^2=\left[\frac{a_1q^n(1-q^n)}{1-q}\right]^2$，$S_n(S_{3n}-S_{2n})=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}·\frac{a_1q^{2n}(1-q^n)}{1-q}$.
故有$(S_{2n}-S_n)^2=S_n(S_{3n}-S_{2n})$，所以$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$成等比数列.
思路二：由性质$S_{m+n}=S_m+q^mS_n$可知$S_{2n}=S_n+q^nS_n$，故有$S_{2n}-S_n=q^nS_n$，$S_{3n}=S_{2n}+q^{2n}S_n$，故有$S_{3n}-S_{2n}=q^{2n}S_n$，故有$(S_{2n}-S_n)^2=S_n(S_{3n}-S_{2n})$，所以$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$成等比数列.

“片段和”性质
1. 若 $ \{ a_{n} \} $ 是公比为 $ q $ 的等比数列，则 $ S_{n + m} = S_{n} + $____（$ n, m \in \mathbf{N}_{+} $）.
2. 若数列 $ \{ a_{n} \} $ 为等比数列，$ S_{n} $ 为其前 $ n $ 项和（$ n $ 为偶数且 $ q = - 1 $ 除外），则 $ S_{n}, S_{2n} - S_{n}, $____仍构成等比数列.
[微提醒] “片段和”性质成立的条件：$ S_{n} \neq 0 $.

答案： 1.$q^nS_m$ 2.$S_{3n}-S_{2n}$

典例 1（一题多解）在等比数列 $ \{ a_{n} \} $ 中，已知 $ S_{n} = 48, S_{2n} = 60 $，求 $ S_{3n} $.
听课笔记：
[变式探究]
（变条件，变设问）设等比数列 $ \{ a_{n} \} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $. 若 $ a_{n} ＞ 0, S_{3} = 5, a_{7} + a_{8} + a_{9} = 20 $，则 $ S_{15} = $____.

答案： 解：法一：因为$S_{2n}\neq2S_n$，所以$q\neq1$，
由已知得$\begin{cases}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=48,\frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q}=60.\end{cases}$
②÷①得$1+q^n=\frac{5}{4}$，即$q^n=\frac{1}{4}$，
③代入①得$\frac{a_1}{1-q}=64$，
所以$S_{3n}=\frac{a_1(1-q^{3n})}{1-q}=64(1-\frac{1}{4^3})=63$.
法二：因为$\{a_n\}$为等比数列，显然公比不等于-1，
所以$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$也成等比数列，
所以$(S_{2n}-S_n)^2=S_n(S_{3n}-S_{2n})$，
所以$S_{3n}=\frac{(S_{2n}-S_n)^2}{S_n}+S_{2n}=\frac{(60 - 48)^2}{48}+60=63$.
法三：由性质$S_{m+n}=S_m+q^mS_n$可知$S_{2n}=S_n+q^nS_n$，
即$60=48+48q^n$，得$q^n=\frac{1}{4}$，
所以$S_{3n}=S_{2n}+q^{2n}S_n=60+48×(\frac{1}{4})^2=63$.
[变式探究]
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