《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

问题 2. 类比等差数列与一次函数的关系，观察等比数列的通项公式与我们熟悉的哪一类函数有关.

答案： 问题2.由$a_n = a_1q^{n - 1}=\frac{a_1}{q}· q^n$可知，当$q＞0$且$q\neq1$时，等比数列$\{a_n\}$的第$n$项$a_n$是指数型函数$f(x)=\frac{a_1}{q}· q^x(x\in R)$当$x = n$时的函数值，即$a_n = f(n)$.

问题 3. 在等差数列 $\{a_n\}$ 中有这样的性质：若 $m + n = p + q$，那么 $a_m + a_n = a_p + a_q$，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？

答案： 问题3.在等比数列$\{a_n\}$中，若$m + n = p + q$，那么$a_m· a_n = a_p· a_q$.

1. 等比数列的函数性质
对于等比数列 $\{a_n\}$，$a_n = a_1 q^{n - 1}$，当 $q ＜ 0$ 时，数列 $\{a_n\}$ 是摆动数列，当 $q ＞ 0$ 时，情况如下：

答案： 1.递减 递增 递增 递减

2. 等比数列的常用性质
性质 1：通项公式的推广：$a_n = a_m ·$____($n$，$m \in \mathbf{N}_+$).
性质 2：若 $\{a_n\}$ 为等比数列，且 $k + l = m + n$($k$，$l$，$m$，$n \in \mathbf{N}_+$)，则 $a_k · a_l =$____.
性质 3：若 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$(项数相同)是等比数列，则 $\{\lambda a_n\}$，$\{\frac{1}{a_n}\}$，$\{a_n^2\}$，$\{a_n · b_n\}$，$\{\frac{a_n}{b_n}\}$ 仍是____数列.

答案： 2.$q^{n - m}$ $a_m· a_n$等比

典例 2
已知数列 $\{a_n\}$ 为等比数列.
（1）若 $a_n ＞ 0$，$a_2 a_4 + 2a_3 a_5 + a_4 a_6 = 25$，求 $a_3 + a_5$；
（2）若 $a_n ＞ 0$，$a_5 a_6 = 9$，求 $\log_3 a_1 + \log_3 a_2 + ·s + \log_3 a_{10}$ 的值.
听课笔记：
[变式探究]
1. （变条件，变设问）在本例（1）中，添加条件 $a_1 a_7 = 4$，求 $a_n$.
2. （变条件）把本例（2）的条件改为“公比为 3，$a_1 a_2 a_3 ·s a_{30} = 3^{300}$”，求 $\log_3 a_1 + \log_3 a_2 + ·s + \log_3 a_{10}$ 的值.

答案： 典例2 解：
(1)根据等比数列的性质及已知，得$a_2a_4 + 2a_3a_5 + a_4a_6 = a_3^2 + 2a_3a_5 + a_5^2 = (a_3 + a_5)^2 = 25$.因为$a_n＞0$，所以$a_3 + a_5＞0$，所以$a_3 + a_5 = 5$.
(2)根据等比数列的性质，得$a_5a_6 = a_1a_{10} = a_2a_9 = a_3a_8 = a_4a_7 = 9$，所以$a_1a_2·s a_9a_{10} = (a_5a_6)^5 = 9^5$，所以$\log_3a_1 + \log_3a_2 + ·s + \log_3a_{10} = \log_3(a_1a_2·s a_9a_{10}) = \log_39^5 = 10$.
[变式探究]
1.解：由等比数列的性质得$a_1a_7 = a_3a_5 = 4$，又由例2
(1)知$a_3 + a_5 = 5$，解得$a_3 = 1$，$a_5 = 4$或$a_3 = 4$，$a_5 = 1$.若$a_3 = 1$，$a_5 = 4$，则$q = 2$，$a_n = 2^{n - 3}$；若$a_3 = 4$，$a_5 = 1$，则$q=\frac{1}{2}$，$a_n = 2^{5 - n}$.
2.解：$a_1a_2a_3·s a_{30} = (a_1a_2a_3·s a_{10})· q^{100}(a_1a_2a_3·s a_{10})· q^{200}(a_1a_2a_3·s a_{10}) = q^{300}(a_1a_2a_3·s a_{10})^3 = 3^{300}(a_1a_2a_3·s a_{10})^3 = 3^{300}$，所以$a_1a_2a_3·s a_{10} = 1$，则$\log_3a_1 + \log_3a_2 + ·s + \log_3a_{10} = \log_3(a_1a_2·s a_{10}) = \log_31 = 0$.

（1）（多选题）已知等比数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，公比为 $q$，且 $a_1 ＞ 1$，$a_8 + a_9 ＞ a_8 a_9 + 1 ＞ 2$，记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_n$，则下列选项中正确的是（ ）

A.$q ＞ 1$
B.$a_8 ＞ 1$
C.$T_{16} ＞ 1$
D.$T_{17} ＞ 1$

答案：
(1)BC
(1)由$a_8 + a_9＞a_8a_9 + 1$，得$(a_8 - 1)(1 - a_9)＞0$，即$a_8$，$a_9$中一个大于1，另一个小于1.因为等比数列$\{a_n\}$的各项均为正数，公比为$q$，即$q＞0$，所以数列$\{a_n\}$要么递增，要么递减，而$a_1＞1$，所以综上可知，$a_8＞1＞a_9$，即数列$\{a_n\}$为递减数列且$1＞q＞0$.因为$T_{16} = a_1· a_2·s·s a_{16} = (a_8a_9)^8$，又$a_8a_9＞1$，所以$T_{16}＞1$，而$T_{17} = a_1· a_2·s·s a_{17} = (a_9)^{17}＜1$，故选BC.

（2）在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 a_2 a_3 = 2$，$a_{n - 2} a_{n - 1} a_n = 4$，且 $a_1 a_2 a_3 · ·s · a_n = 64$，则数列 $\{a_n\}$ 有____项.

答案：
(2)12
(2)由题意及等比数列的性质得$a_1a_2a_3a_{n - 2}a_{n - 1}a_n = (a_1a_n)^3 = 8$，即$a_1a_n = 2$，则$a_1a_2a_3·s·s a_n = 64$，即$(a_1a_n)^{\frac{n}{2}} = 2^{\frac{n}{2}} = 2^6$，解得$n = 12$，故数列$\{a_n\}$有12项.