《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

对点练 3. (一题多解) 若数列 $ \{ a_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和 $ S_{n} = \frac{2}{3}a_{n} + \frac{1}{3} $，则 $ \{ a_{n}\} $ 的通项公式是 $ a_{n} = $.

答案： $(-2)^{n-1}$法一：当n=1时，由$S_{n}=\frac{2}{3}a_{n}+\frac{1}{3}，$得
$a_{1}=\frac{2}{3}a_{1}+\frac{1}{3}，$即$a_{1}=1；$当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=$
$(\frac{2}{3}a_{n}+\frac{1}{3})-(\frac{2}{3}a_{n-1}+\frac{1}{3})=\frac{2}{3}a_{n}-\frac{2}{3}a_{n-1}，$即$a_{n}=$
$-2a_{n-1}，$故数列$\{a_{n}\}$是以1为首项，-2为公比的等比数
列，从而$\{a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=(-2)^{n-1}.$
法二：因为$S_{n}=\frac{2}{3}a_{n}+\frac{1}{3}，$所以数列$\{a_{n}\}$是等比数列，则
$\frac{q}{q-1}=\frac{2}{3},\frac{a_{1}}{q-1}=-\frac{1}{3}，$于是$q=-2,a_{1}=1，$从而$\{a_{n}\}$的通
项公式是$a_{n}=(-2)^{n-1}.$
法三：因为$S_{n}=\frac{2}{3}a_{n}+\frac{1}{3}，$所以数列$\{a_{n}\}$是等比数列，由
$\begin{cases}a_{1}=\frac{2}{3}a_{1}+\frac{1}{3},\\a_{1}+a_{2}=\frac{2}{3}a_{2}+\frac{1}{3},\end{cases}$
得$\begin{cases}a_{1}=1,\\a_{2}=-2,\end{cases}$所以公比q=-2，所以
$\{a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=(-2)^{n-1}.$

典例 4 (链教材 P29 例 6) 新能源汽车技术的发展有着诸多的作用，它不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，还能够减轻对环境的污染. 为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换 10 000 辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，新车为电力型和混合动力型公交车. 今年年初投入了电力型公交车 128 辆，混合动力型公交车 400 辆，计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加 $ 50\% $，混合动力型公交车每年比上一年多投入 $ a $ 辆.
(1) 求经过 $ n $ 年，该市被更换的公交车总辆数 $ S(n) $ (不必写出 $ n $ 的取值范围)；
(2) 若该市计划 7 年内完成全部更换，求 $ a $ 的最小值.
听课笔记：

答案： 解：
(1)设$a_{n},b_{n}$分别为第n年投入的电力型公交车、
混合动力型公交车的辆数，
依题意，数列$\{a_{n}\}$是首项为128，公比为$1+50\%=\frac{3}{2}$的等
比数列，数列$\{b_{n}\}$是首项为400，公差为a的等差数列，
故数列$\{a_{n}\}$的前n项和为$\frac{128×[1-(\frac{3}{2})^{n}]}{1-\frac{3}{2}}=$
$256×[(\frac{3}{2})^{n}-1]，$
数列$\{b_{n}\}$的前n项和为$400n+\frac{n(n-1)}{2}a，$
所以经过n年，该市被更换的公交车总辆数
$S(n)=256×[(\frac{3}{2})^{n}-1]+400n+\frac{n(n-1)}{2}a.$
(2)若计划7年内完成全部更换，
则$S(7)\geq10000，$
即$256×[(\frac{3}{2})^{7}-1]+400×7+\frac{7×6}{2}a\geq10000，$
即$21a\geq3082，$解得$a\geq146\frac{16}{21}.$
又$a\in N_{+}，$所以a的最小值为147.

对点练 4. 《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共 17 卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还. ”大致意思是：有一个人要到距离出发地 378 里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地. 那么此人第一天所走路程里数为 ( )

A.96
B.126
C.192
D.252

答案： C由题意得，此人每天走的路程形成以$a_{1}$为首
项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列.因为此人6天后到达目的地，
则有$S_{6}=\frac{a_{1}[1-(\frac{1}{2})^{6}]}{1-\frac{1}{2}}=378，$解得$a_{1}=192，$所以此人第
一天所走路程里数为192.故选C.

[教材拓展 4] 错位相减法求和 (源于教材 P28 抽象概括)
典例 5 我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前 $ n $ 项和，进而可利用该法求数列 $ \{ (2n - 1) · 3^{n}\} $ 的前 $ n $ 项和 $ S_{n} $，其操作步骤如下：由于 $ S_{n} = 1 × 3^{1} + 3 × 3^{2} + ·s + (2n - 1) · 3^{n} $，$ 3S_{n} = 1 × 3^{2} + 3 × 3^{3} + ·s + (2n - 1) · 3^{n + 1} $，从而 $ 2S_{n} = -3 - (2 × 3^{2} + ·s + 2 × 3^{n}) + (2n - 1) · 3^{n + 1} $，所以 $ S_{n} = (n - 1) · 3^{n + 1} + 3 $，类比如上方法可求数列 $ \{ n^{2} · 3^{n}\} $ 的前 $ n $ 项和 $ T_{n} $，则 $ 2T_{n} + 3 = $.
听课笔记：

答案： $(n^{2}-n+1)·3^{n+1}$由题意，$T_{n}=1^{2}×3^{1}+2^{2}×3^{2}$
$+·s+n^{2}·3^{n},3T_{n}=1^{2}×3^{2}+2^{2}×3^{3}+·s+(n-1)^{2}·3^{n}+n^{2}·3^{n+1}，$两
式相减得$2T_{n}=-3+(1^{2}-2^{2})·3^{2}+(2^{2}-3^{2})·3^{3}+·s$
$+[(n-1)^{2}-n^{2}]·3^{n}+n^{2}·3^{n+1}，$即$2T_{n}=-3-[3·3^{2}$
$+5·3^{3}+·s+(2n-1)·3^{n}]+n^{2}·3^{n+1}，$即$2T_{n}=-S_{n}+n^{2}·3^{n+1}=-[(n-1)·3^{n+1}+3]+n^{2}·$
$3^{n+1}，$所以$2T_{n}+3=(n^{2}-n+1)·3^{n+1}.$