《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

典例3 已知数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1} = 1,a_{n + 1} = 2a_{n} + n - 1$。
(1) 求证：数列$\{a_{n} + n\}$为等比数列；
(2) 求数列$\{a_{n}\}$的通项公式。
听课笔记：
[变式探究]
（变条件，变设问）本例已知变为：$a_{1} = 2,a_{n + 1} = 4a_{n} - 3n + 1$，求证：数列$\{a_{n} - n\}$是等比数列。

答案： 解：
(1)证明：因为$a_{n + 1}=2a_n + n - 1$，
所以$a_{n + 1}+(n + 1)=2a_n+(n - 1)+(n + 1)$，
即$a_{n + 1}+(n + 1)=2(a_n + n)$.
因为$a_n + n\neq0$，
所以$\frac{a_{n + 1}+n + 1}{a_n + n}=2$，且$a_1 + 1 = 2$，
所以数列$\{a_n + n\}$是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)由
(1)知$a_n + n=2·2^{n - 1}=2^n$，
所以$a_n=2^n - n$.
[变式探究]
证明：由$a_{n + 1}=4a_n - 3n + 1$，得$a_{n + 1}-(n + 1)=4(a_n - n)$，
又$a_1 - 1 = 1\neq0$，所以$a_n - n\neq0$，所以$\frac{a_{n + 1}-(n + 1)}{a_n - n}=4$，
所以数列$\{a_n - n\}$是首项为1，公比为4的等比数列.

对点练3. 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1} = 1,2na_{n + 1} = (n + 1)a_{n}$，设$b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$。
(1) 求$b_{1},b_{2},b_{3}$；
(2) 判断数列$\{b_{n}\}$是否为等比数列，并说明理由；
(3) 求$\{a_{n}\}$的通项公式。

答案： 解：
(1)因为数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，
$2na_{n + 1}=(n + 1)a_n$，可得$a_2 = 1,a_3=\frac{3}{4}$.
又因为$b_n=\frac{a_n}{n}$，可得$b_1=\frac{a_1}{1}=1,b_2=\frac{a_2}{2}=\frac{1}{2}$，
$b_3=\frac{a_3}{3}=\frac{1}{4}$.
(2)数列$\{b_n\}$为等比数列.理由如下：
由数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，且$2na_{n + 1}=(n + 1)a_n$，
可得$\frac{a_{n + 1}}{n + 1}=\frac{1}{2}×\frac{a_n}{n}$
又因为$b_n=\frac{a_n}{n}$，可得$b_{n + 1}=\frac{1}{2}b_n$.
因为$b_1 = 1$，所以数列$\{b_n\}$是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列.
(3)由
(2)得$b_n=1×(\frac{1}{2})^{n - 1}=\frac{1}{2^{n - 1}}$.
因为$b_n=\frac{a_n}{n}$，可得$a_n=nb_n=\frac{n}{2^{n - 1}}$.
所以$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{n}{2^{n - 1}}$.

1. 正项等比数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1} = 2,a_{3} = 8$，则其通项公式$a_{n} =$( )

A.$2^{n - 1}$
B.$2^{n}$
C.$2^{n + 1}$
D.$2^{n + 2}$

答案： 1.B 因为$\{a_n\}$是正项等比数列，所以$q＞0$，又因为$a_1 = 2$，$a_3 = 8$，所以$q^2=\frac{a_3}{a_1}=4$，故$q = 2$，所以$a_n=a_1q^{n - 1}=2×2^{n - 1}=2^n$.故选B.

2. 若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )

A.4
B.8
C.6
D.32

答案： 2.C 由等比数列的通项公式得，$128 = 4×2^{n - 1}$，即$2^{n - 1}=32$，所以$n = 6$.故选C.

3.(多选题)下列说法正确的有( )

A.等比数列中的项不能为0
B.等比数列的公比的取值范围是$R$
C.若一个常数列是等比数列，则公比为1
D.$2^{2},4^{2},6^{2},8^{2},·s$成等比数列

答案： 3.AC A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；由于$\frac{4^2}{2^2}\neq\frac{6^2}{4^2}$，故不是等比数列，所以D错误.故选AC.

4. 等比数列$x,3x + 3,6x + 6,·s$的第4项为__________。
请完成课时分层评价7

答案： 4.-24 由$x,3x + 3,6x + 6$成等比数列，得$\frac{3x + 3}{x}=\frac{6x + 6}{3x + 3}=2$，
所以$x=-3$.所以第4项为$-3×2^3=-24$.