《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

已知二次函数 $f(x) = x^2 - 2x + a$.
（1）判断 $f(0)$ 与 $f(3)$ 的大小；
（2）判断 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 与 $[1, 3]$ 的平均变化率的大小.

答案： （1）因为$f(x)=x^2 - 2x + a$，所以$f(0)=a$，$f(3)=3 + a$，所以$f(0) ＜ f(3)$．（2）$f(x)$在区间$[0,1]$的平均变化率为$\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = f(1) - f(0)=a - 1 - a = - 1$，$f(x)$在区间$[1,3]$的平均变化率为$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$，所以$f(x)$在区间$[0,1]$的平均变化率小于在区间$[1,3]$的平均变化率．

问题 2. 我们知道平均速度刻画了物体在一段时间内运动的快慢. 在实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度. 比如，我们看到汽车在行驶过程中不断变化的速度表，每个时刻指针指向的数字就是汽车在该时刻的瞬时速度. 如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系呢？

答案： 问题2.瞬时速度是汽车在某一时刻的速度，而平均速度是在某一时间段内的平均值，若时间间隔进一步缩短，平均速度就更接近于那一时刻的瞬时速度．

问题 3. 物体的路程 $s$ 与时间 $t$ 的关系是 $s(t) = 5t^2$，试求物体在 $[1, 1 + \Delta t]$ 这段时间内的平均速度. 当 $\Delta t$ 趋近于 $0$ 时，平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？

答案： 问题3.$\Delta s = 5(1 + \Delta t)^2 - 5 = 10\Delta t + 5(\Delta t)^2$，平均速度为$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = 10 + 5\Delta t$．当$\Delta t$趋近于0时，$\frac{\Delta s}{\Delta t}$趋近于10，这时的平均速度即为当$t = 1$时的瞬时速度．

瞬时变化率
1. 定义：对于一般的函数 $y = f(x)$，在自变量 $x$ 从 $x_0$ 变到 $x_1$ 的过程中，若设 $\Delta x = x_1 - x_0$，$\Delta y = f(x_1) - f(x_0)$，则该函数的平均变化率为 $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} =$ __________. 如果当 __________ 时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的 __________.
2. 作用：刻画函数在 __________ 变化的快慢.
[微提醒] 平均变化率与瞬时变化率的关系
（1）区别：平均变化率刻画函数值在区间 $[x_1, x_2]$ 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在某一点处变化的快慢. （2）联系：当 $\Delta x$ 趋于 $0$ 时，平均变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 趋于某个值，这个值即为函数在 $x_0$ 处的瞬时变化率，它是一个固定值.
[微思考] 函数 $f(x)$ 在区间 $(x_1, x_2)$ 上的平均变化率可以等于 $0$ 吗？若平均变化率等于 $0$，是否说明 $f(x)$ 在 $(x_1, x_2)$ 上一定为常数？

答案： 1.$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ $\Delta x$趋于0 瞬时变化率 2.某一点处 [微思考] 函数$f(x)$在区间$(x_1,x_2)$上的平均变化率可以等于0，这时$f(x_1)=f(x_2)$；平均变化率等于0，不能说$f(x)$在区间$(x_1,x_2)$上一定为常数，例如$f(x)=x^2$在区间$(-1,1)$上．