《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

典例5(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
(2)四个数成等差数列且公差$d＞0$，中间两项的和为2，首末两项的积为$- 8$，求这四个数.
听课笔记：

答案： 解:
(1)设这三个数依次为a-d,a,a+d，
由题意，知$\begin{cases}(a-d)+a+(a+d)=9,\ (a-d)a=6(a+d),\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=3,\ d=-1.\end{cases}$
所以这三个数为4,3,2.
(2)法一:设这四个数为$a-3d_{1},a-d_{1},a+d_{1},a+3d_{1}($公差为$2d_{1})，$
依题意，2a=2，且$(a-3d_{1})(a+3d_{1})=-8，$
即$a=1,a^{2}-9d_{1}^{2}=-8，$
所以$d_{1}^{2}=1，$所以$d_{1}=1$或$d_{1}=-1.$
又因为d＞0，所以$2d_{1}=d＞0，$
所以$d_{1}=1，$故所求的四个数为-2,0,2,4.
法二:设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d)，
依题意，$\begin{cases}2a+3d=2,\ a(a+3d)=-8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-2,\ d=2\end{cases}$或$\begin{cases}a=4,\ d=-2\end{cases}($舍去).
故所求的四个数为-2,0,2,4.

对点练4.已知四个数成等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.

答案： 解:设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d
(公差为2d).由题意知，
$\begin{cases}(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26,\ (a-d)(a+d)=40,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{13}{2},\ d=\frac{3}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}a=\frac{13}{2},\ d=-\frac{3}{2}.\end{cases}$
故这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.

1.在等差数列$\{ a_{n}\}$中$,a_{3} = 5,a_{6} = 8$，则公差$d$等于 (　　)

A.$\frac{1}{2}$
B.$- \frac{1}{2}$
C.1
D.$- 1$

答案： 1.C 因为$a_{3}=5,a_{6}=8，$所以$d=\frac{a_{6}-a_{3}}{3}=1.$故选C.

2.若数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = 2n + 5$，则此数列 (　　)

A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为$n$的等差数列

答案： 2.A 因为$a_{n+1}-a_{n}=2(n+1)+5-(2n+5)=2，$所以${a_{n}}$是公差为2的等差数列.故选A.

3.等差数列$- 3, - 7, - 11,·s$的通项公式$a_{n} =$____.

答案： $3.-4n+1 a_{1}=-3,d=a_{2}-a_{1}=-7-(-3)=-4，$所以$a_{n}=a_{1}+(n-1)d=-4n+1.$

4.设$\{ a_{n}\}$是等差数列，且$a_{1} = 3,a_{2} + a_{4} = 14$，若$a_{m} = 37$，则$m =$____.
请完成课时分层评价3

答案： 4.18 设该等差数列的公差为d，因为$a_{1}=3，$所以由$a_{2}+a_{4}=14，$得3+d+3+3d=14，所以d=2.故由$a_{m}=37，$得3+(m-1)×2=37，所以m=18.