《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

对点练1. (1)（多选题）下列各组数成等比数列的是（ ）
A.$1,-2,4,-8$
B.$-\sqrt{2},2,-2\sqrt{2},4$
C.$x,x^{2},x^{3},x^{4}$
D.$a^{-1},a^{-2},a^{-3},a^{-4}$

答案：
(1)ABD
(1)对于A，由$\frac{-2}{1}=\frac{4}{-2}=\frac{-8}{4}=-2$，得数列是以-2为公比的等比数列；对于B，由$\frac{-2}{-\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{2}}{-2}=\frac{4}{-2\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$，得数列是以$-\sqrt{2}$为公比的等比数列；对于C，当$x = 0$时，不是等比数列；对于D，由$\frac{a^{n - 2}}{a^{n - 1}}=\frac{a^{n - 3}}{a^{n - 2}}=\frac{a^{n - 4}}{a^{n - 3}}=a^{-1}$，得数列是以$a^{-1}$为公比的等比数列.故选ABD.

(2) 以下数列中是等比数列的有__________。（填序号）
① 数列$1,2,6,18,·s$；
② 数列$\{a_{n}\}$中，已知$\frac{a_{2}}{a_{1}} = 2,\frac{a_{3}}{a_{2}} = 2$；
③ 常数列$a,a,a,·s,a,·s$；
④ 数列$\{a_{n}\}$中，$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q(q\neq 0)$。

答案：
(2)④
(2)在数列①中，$\frac{2}{1}\neq\frac{6}{2}$，所以①不是等比数列；在数列②中，不一定都满足$\frac{a_{n + 1}}{a_n}=2$；在数列③中，$a$若为0，则不是等比数列；④中数列是等比数列.

问题2. 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？

答案： 设一个等比数列的首项是$a_1$，公比是$q$，则由定义可知$\frac{a_n}{a_{n - 1}}=q(n\in N_+且n\geq2)$.
法一：$a_n=\frac{a_n}{a_{n - 1}}×\frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}}×·s×\frac{a_3}{a_2}×\frac{a_2}{a_1}× a_1=q× q×·s× q× q× a_1=a_1q^{n - 1}$，当$n = 1$时，上式也成立.
法二：$a_2=a_1q,a_3=a_2q=(a_1q)q=a_1q^2,a_4=a_3q=(a_1q^2)q=a_1q^3,·s$，由此可得$a_n=a_1q^{n - 1}$，当$n = 1$时，上式也成立.

典例2（链教材P24例2）在等比数列$\{a_{n}\}$中：
(1) 已知$a_{2} = 4,a_{5} = -\frac{1}{2}$，求$a_{n}$；
(2) 已知$a_{5} - a_{1} = 15,a_{4} - a_{2} = 6,a_{n} = 64$，求$n$；
(3)（2023·全国乙卷改编）$a_{2}a_{4}a_{5} = a_{3}a_{6},a_{9}a_{10} = -8$，求$a_{7}$。
听课笔记：
[变式探究]
（变条件，变设问）本例(1)若改为等比数列$\{a_{n}\}$中，已知$a_{2} = 18,a_{4} = 8$，求$q$与$a_{5}$。

答案： 解：
(1)法一：设等比数列的公比为$q$，
则$\begin{cases}a_1q = 4,\\a_1q^4=-\frac{1}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=-8,\\q=-\frac{1}{2}.\end{cases}$
所以$a_n=a_1q^{n - 1}=(-8)×(-\frac{1}{2})^{n - 1}=(-\frac{1}{2})^{n - 4}$.
法二：设等比数列的公比为$q$，则$\frac{a_5}{a_2}=q^3$，
即$q^3=-\frac{1}{8}$，解得$q=-\frac{1}{2}$.
所以$a_n=a_5q^{n - 5}=(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})^{n - 5}=(-\frac{1}{2})^{n - 4}$.
(2)根据题意，有$\begin{cases}a_1q^4 - a_1=15,\\a_1q^3 - a_1q = 6,\end{cases}$
易知$q\neq\pm1$，方程两边分别相除，得$\frac{a_1q^4 - a_1}{a_1q^3 - a_1q}=\frac{5}{2}$.
整理得$2q^2 - 5q + 2 = 0$，解得$q = 2$或$q=\frac{1}{2}$.
当$q = 2$时，$a_1 = 1$；当$q=\frac{1}{2}$时，$a_1=-16$(此时$a_n＜0$，舍去).
由$a_n=a_1q^{n - 1}=64$，解得$n = 7$.
(3)设$\{a_n\}$的公比为$q(q\neq0)$，则$a_2a_4a_5=a_3a_6=a_2q· a_5q$，显然$a_n\neq0$，则$a_4=q^2$，即$a_1q^3=q^2$，则$a_1q = 1$，因为$a_9a_{10}=-8$，则$a_1q^8· a_1q^9=-8$，则$q^{15}=(q^5)^3=-8=(-2)^3$，则$q^5=-2$，则$a_7=a_1q· q^5=q^5=-2$.
[变式探究]
解：由已知得$\begin{cases}a_1q = 18,\\a_1q^3 = 8,\end{cases}$
$\begin{cases}a_1=27,\\a_1=-27,\end{cases}$解得$\begin{cases}q=\frac{2}{3}或\\q=-\frac{2}{3}\end{cases}$，
所以$q=\pm\frac{2}{3},a_5=a_4q=\pm\frac{16}{3}$.

对点练2. 在等比数列$\{a_{n}\}$中：
(1) 已知$a_{3} + a_{6} = 36,a_{4} + a_{7} = 18,a_{n} = \frac{1}{2}$，求$n$；
(2) 已知$a_{5} = 8,a_{7} = 2,a_{n} ＞ 0$，求$a_{n}$。

答案： 解：设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$.
(1)由$\begin{cases}a_4 + a_7=q(a_3 + a_6)=18,\\a_3 + a_6=36,\end{cases}$
得$q=\frac{1}{2}$.
再由$a_3 + a_6=a_3·(1 + q^3)=36$得$a_3=32$，
则$a_n=a_3· q^{n - 3}=32×(\frac{1}{2})^{n - 3}=(\frac{1}{2})^{n - 8}$，又$a_n=\frac{1}{2}$，
所以$n - 8 = 1$，所以$n = 9$.
(2)由$a_7=a_5· q^2$得$q^2=\frac{1}{4}$.
因为$a_n＞0$，所以$q=\frac{1}{2}$，
所以$a_n=a_5· q^{n - 5}=8×(\frac{1}{2})^{n - 5}=(\frac{1}{2})^{n - 8}$.