《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

已知数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2n×0.9^{n}$，求数列$\{a_{n}\}$中的最大项.

答案： 对点练4.解：设$a_n$是数列$\{a_n\}$中的最大项，
则$\begin{cases}a_n\geq a_{n - 1},\\a_n\geq a_{n + 1},\end{cases}$即$\begin{cases}2n×0.9^n\geq2(n - 1)×0.9^{n - 1},\\2n×0.9^n\geq2(n + 1)×0.9^{n + 1},\end{cases}$
所以$\begin{cases}0.9^n\geq0.9^{n - 1}×\frac{n - 1}{n},\\n\geq0.9(n + 1),\end{cases}$即$\begin{cases}0.9\geq\frac{n - 1}{n},\\n\geq9,\end{cases}$
所以$\begin{cases}n\leq10,\\n\geq9,\end{cases}$即$9\leq n\leq10$，
所以当$n = 9$或$n = 10$时，$a_n$最大，
最大项为$a_9 = a_{10} = 2×10×0.9^{10} = 20×0.9^{10}$.

(1) 数学家斐波那契在自己的著作中记载着这样一个数列：$1$，$1$，$2$，$3$，$5$，$8$，$13$，$21$，$34$，$·s$，满足$F_{n + 2}=F_{n + 1}+F_{n}(n\geq1,n\in\mathbf{N}_{+})$，该数列称为斐波那契数列. 在斐波那契数列$\{F_{n}\}$中，$1 + F_{2}+F_{4}+F_{6}+·s+F_{2026}$等于（ ）

A.$F_{2025}$
B.$F_{2026}$
C.$F_{2027}$
D.$F_{2028}$

答案：
(1)C
(1)由$F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_n$，得$F_{n + 1} = F_{n + 2} - F_n$，
所以$1 + F_2 + F_4 + F_6 + ·s + F_{2026} = 1 + (F_3 - F_1) + (F_5 - F_3) + ·s + (F_{2027} - F_{2025}) = 1 - F_1 + F_{2027} = F_{2027}$.故选C.

(2)（多选题）斐波那契数列指的是这样一个数列：$1$，$1$，$2$，$3$，$5$，$8$，$13$，$21$，$34$，$·s$，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：$F(1)=F(2)=1$，$F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)(n＞2,n\in\mathbf{N}_{+})$. 在现代物理、准晶体结构、化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从$1963$年起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果. 根据以上描述，以下说法正确的是（ ）
听课笔记：

A.该数列是一个递增数列
B.$89$是该数列的一项
C.从前$10$项可以看出，设第$n$项为$a_{n}$，则$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+·s+a_{n}^{2}=a_{n}a_{n + 1}$
D.设第$n$项为$a_{n}$，随着$n$的增大，$\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$逐渐趋近于一个常数$k$，则$k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

答案：
(2)BCD
(2)“斐波那契数列”为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,$·s$，
因为$a_1 = a_2$，所以该数列不是一个递增数列，故A错误；
因为$a_{11} = 89$，即89是该数列的一项，故B正确；
因为$a_1 = a_2 = 1,a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n(n\geq1)$，所以$a_1^2 = a_2· a_1,a_2^2 = a_2·(a_3 - a_1) = a_2· a_3 - a_2· a_1,a_3^2 = a_3·(a_4 - a_2) = a_3· a_4 - a_3· a_2,·s,a_n^2 = a_n·(a_{n + 1} - a_{n - 1}) = a_n· a_{n + 1} - a_n· a_{n - 1}$，所以$a_1^2 + a_2^2 + ·s + a_n^2 = a_n· a_{n + 1}$，故C正确；
因为$a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n(n\geq1)$，两边同除以$a_{n + 1}(a_{n + 1} ＞ 0)$，
可得$\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} = 1 + \frac{a_n}{a_{n + 1}}$，又随着$n$的增大，$\frac{a_n}{a_{n + 1}}$逐渐趋近于一个常数$k$，所以$\frac{1}{k} = 1 + k$，解得$k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$(负值已舍去)，故D正确.故选BCD.

1. 已知$a_{n}=3n - 2$，则数列$\{a_{n}\}$的图象是( )

A.一条直线
B.一条线段
C.一条射线
D.一群孤立的点

答案： 1.D 因为$a_n = 3n - 2,n\in N_+$，所以数列$\{a_n\}$的图象是一群孤立的点.故选D.

2. 在递减数列$\{a_{n}\}$中，$a_{n}=kn$($k$为常数)，则实数$k$的取值范围是( )

A.$\mathbf{R}$
B.$(0,+\infty)$
C.$(-\infty,0)$
D.$(-\infty,0$

答案： 2.C 因为$\{a_n\}$是递减数列，所以$a_{n + 1} - a_n = k(n + 1) - kn = k ＜ 0$.故选C.

3. 若$a_{n}=\frac{3n + 5}{n + 2}$，则$a_{n}$与$a_{n + 1}$的大小关系是( )

A.$a_{n}＞a_{n + 1}$
B.$a_{n}＜a_{n + 1}$
C.$a_{n}=a_{n + 1}$
D.不能确定

答案： 3.B $a_n = \frac{3n + 5}{n + 2} = \frac{3(n + 2) - 1}{n + 2} = 3 - \frac{1}{n + 2}$，所以$a_{n + 1} - a_n = (3 - \frac{1}{n + 3}) - (3 - \frac{1}{n + 2}) = \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} = \frac{1}{(n + 2)(n + 3)} ＞ 0$，即$a_n ＜ a_{n + 1}$.故选B.

4. 在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{n}=-n^{2}+11n$，则此数列最大项的值是________.

答案： 4.30 $a_n = -n^2 + 11n = -(n - \frac{11}{2})^2 + \frac{121}{4}$，又$n\in N_+$，所以当$n = 5$或$6$时，$a_n$取最大值30.