《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

（1）已知数列 $ \{ a_{n} \} $ 满足 $ a_{1} = 1 $，$ a_{n + 1} = 3a_{n} + 4 $. 则数列 $ \{ a_{n} \} $ 的通项公式为 ____.

答案： （1）$a_n = 3^n - 2$

（2）已知数列 $ \{ a_{n} \} $ 中，$ a_{1} = 1 $，$ a_{n + 1} = 2a_{n} + 2n - 1 $. 证明数列 $ \{ a_{n} + 2n + 1 \} $ 是等比数列，并求数列 $ \{ a_{n} \} $ 的通项公式.
模型2 形如 $ a_{n} = pa_{n - 1} + tq^{n}(p \neq 1) $ 的递推关系求通项公式

答案： （2）证明：因为$a_{n + 1} = 2a_n + 2n - 1$，所以$a_{n + 1} + 2(n + 1) + 1 = 2(a_n + 2n + 1)$，即$\frac{a_{n + 1} + 2(n + 1) + 1}{a_n + 2n + 1} = 2$，所以数列$\{ a_n + 2n + 1\}$是以$4$为首项，$2$为公比的等比数列，所以$a_n + 2n + 1 = 4 × 2^{n - 1}$，所以$a_n = 2^{n + 1} - 2n - 1$。

典例3
已知数列 $ \{ a_{n} \} $ 中，$ a_{1} = 2 $，$ a_{n + 1} - 4a_{n} = 2^{n + 1} $，$ n \in \mathbf{N}_{+} $. 求 $ \{ a_{n} \} $ 的通项公式.
听课笔记：

答案： $a_n = 4^n - 2^n$

已知数列 $ \{ a_{n} \} $ 满足 $ a_{1} = 1 $，$ a_{n + 1} = 3a_{n} + 4^{n} $. 则数列 $ \{ a_{n} \} $ 的通项公式为 ____.

答案： $a_n = 4^n - 3^n$

典例4
在数列 $ \{ a_{n} \} $ 中，$ a_{1} = - 1 $，$ a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3a_{n} + 2} $，$ n \in \mathbf{N}_{+} $，求 $ \{ a_{n} \} $ 的通项公式.
听课笔记：

答案： $a_n = \frac{1}{2^{n - 3}},n \in \mathbf{N}_+$

已知数列 $ \{ a_{n} \} $ 满足：$ a_{1} = 1 $，$ a_{n + 1} = \frac{2a_{n}}{a_{n} + 2}(n \in \mathbf{N}_{+}) $，则数列 $ \{ a_{n} \} $ 的通项公式为（ ）

A.$ a_{n} = \frac{2}{n + 1} $
B.$ a_{n} = \frac{1}{n - 1} $
C.$ a_{n} = \frac{n}{n + 1} $
D.$ a_{n} = \frac{1}{n + 1} $

答案： A