《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

3. 导数的几何意义
函数 $ y = f(x) $ 在 $ x_0 $ 处的导数 $ f'(x_0) $，是曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (x_0,f(x_0)) $ 处的____. 函数 $ y = f(x) $ 在 $ x_0 $ 处____反映了导数的几何意义.

答案： 3.切线的斜率 切线的斜率

（1）如图，直线 $ l $ 是曲线 $ y = f(x) $ 在 $ x = 4 $ 处的切线，则 $ f'(4) $ 等于（ ）

A.$\frac{1}{2}$
B.$ 3 $
C.$ 4 $
D.$ 5 $

答案： （1）A

（2）已知函数 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上可导，其部分图象如图所示，设 $ k=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} $，则下列不等式正确的是（ ）


A.$ k\lt f'(x_1)\lt f'(x_2) $
B.$ f'(x_1)\lt k\lt f'(x_2) $
C.$ f'(x_2)\lt f'(x_1)\lt k $
D.$ f'(x_1)\lt f'(x_2)\lt k $

答案： （2）B

已知函数 $ y = f(x) $ 的部分图象如图所示，其中 $ A(x_1,f(x_1)) $，$ B(x_2,f(x_2)) $，$ C(x_3,f(x_3)) $ 为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ）


A.$ f'(x_1)＞f'(x_2)＞f'(x_3) $
B.$ f'(x_3)＞f'(x_2)＞f'(x_1) $
C.$ f'(x_3)＞f'(x_1)＞f'(x_2) $
D.$ f'(x_1)＞f'(x_3)＞f'(x_2) $

答案： B

问题4. 若函数 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的导数为 $ f'(x_0) $，你能写出 $ y = f(x) $ 在点 $ (x_0,f(x_0)) $ 处的切线方程吗？

答案： 问题4.根据点斜式方程：$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线方程为$y - f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x - x_0)$．

函数 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的导数为 $ f'(x_0) $，则 $ y = f(x) $ 在点 $ (x_0,f(x_0)) $ 处的切线方程为____.
[微提醒] 切点 $ (x_0,f(x_0)) $ 在曲线上也在切线上.
[微思考] “在某点处的切线（方程）”与“过一点的切线（方程）”是否相同？

答案： 1. 首先明确切线方程的公式：
根据直线的点 - 斜式方程$y - y_1=k(x - x_1)$（其中$(x_1,y_1)$为直线上一点，$k$为直线斜率）。
对于函数$y = f(x)$，在点$(x_0,f(x_0))$处，切线的斜率$k = f^{\prime}(x_0)$，$x_1=x_0$，$y_1 = f(x_0)$。
2. 然后得出切线方程：
把$k = f^{\prime}(x_0)$，$x_1=x_0$，$y_1 = f(x_0)$代入点 - 斜式方程$y - y_1=k(x - x_1)$，可得$y - f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x - x_0)$。
故答案为：$y - f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x - x_0)$。

典例2
（链教材 P60 例 5）已知曲线 $ y=\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3} $，求曲线在点 $ P(2,4) $ 处的切线方程.
听课笔记：
变式探究
（变设问）本例曲线方程不变，求曲线过点 $ P(2,4) $ 的切线方程.

答案： 解：因为点$P(2,4)$在曲线$y=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{4}{3}$上，
所以曲线在点$P(2,4)$处切线的斜率为
$k=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{1}{3}(2 + \Delta x)^{3}+\frac{4}{3}-(\frac{1}{3} × 2^{3}+\frac{4}{3})}{\Delta x}$
$=\lim_{\Delta x \to 0}\left[4 + 2\Delta x+\frac{1}{3}(\Delta x)^{2}\right]=4$．
所以曲线在点$P(2,4)$处的切线方程为$y - 4 = 4(x - 2)$，即$4x - y - 4 = 0$．
［变式探究］
解：设曲线$y=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{4}{3}$与过点$P(2,4)$的切线相切于点$A(x_0,\frac{1}{3}x_0^{3}+\frac{4}{3})$，
则切线的斜率为$k=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{1}{3}(x_0+\Delta x)^{3}-\frac{1}{3}x_0^{3}}{\Delta x}=x_0^{2}$，
所以切线方程为$y - (\frac{1}{3}x_0^{3}+\frac{4}{3})=x_0^{2}(x - x_0)$，
即$y=x_0^{2}· x - \frac{2}{3}x_0^{3}+\frac{4}{3}$．
因为点$P(2,4)$在切线上，所以$4 = 2x_0^{2}-\frac{2}{3}x_0^{3}+\frac{4}{3}$，
即$x_0^{3}-3x_0^{2}+4 = 0$．
所以$x_0^{3}+x_0^{2}-4x_0^{2}+4 = 0$，
所以$x_0^{2}(x_0 + 1)-4(x_0 + 1)(x_0 - 1)=0$，
所以$(x_0 + 1)(x_0 - 2)^{2}=0$，解得$x_0=-1$或$x_0=2$．
故曲线过点$P(2,4)$的切线方程为$x - y + 2 = 0$或$4x - y - 4 = 0$．