《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

下列说法正确的是（ ）

A.$-4$，5，2，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$不是数列
B.数列$\{a_n\}$的前 4 项为 1，2，3，4，则第 5 项一定是 5
C.$-1$，1，3，5，$·s$是数列
D.数列 0，2，4，6，8，$·s$是有穷数列

答案： C 对于A，$-4,5,2,\frac{1}{2},\sqrt{3}$是数列；对于B，数列的第5项不一定为5；对于D，数列应为无穷数列；根据数列定义C显然正确.故选C.

问题 2. 观察下面的数列，能否用一个式子表示数列中的每一项？这个式子是什么？
(1) 1，2，3，4，5，$·s$；
(2) 2，4，6，8，10，$·s$；
(3) $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{11}$，$·s$.

答案： 能$.(1)a_n = n,n\in\mathbf{N}_+；$$(2)a_n = 2n,n\in\mathbf{N}_+；$$(3)a_n = \frac{1}{2n + 1},n\in\mathbf{N}_+.$

数列的通项公式
如果数列$\{a_n\}$的第 $n$ 项 $a_n$ 与 $n$ 之间的函数关系可以用一个式子表示成______，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应______的解析式. 数列也可以看作定义域为______（或其子集）的函数.
[微提醒] (1) 不是所有的数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，形式也不一定是唯一的. (2) 数列通项公式的作用：①求数列中的任意一项；②判断某数是不是该数列中的项.

答案： a_n = f(n) 函数 正整数集$\mathbf{N}_+$

典例 2（链教材 P4 例 2）
写出下列各数列的一个通项公式：
(1) $-1$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$·s$；
(2) $\frac{2^2 - 1}{2}$，$\frac{3^2 - 1}{3}$，$\frac{4^2 - 1}{4}$，$\frac{5^2 - 1}{5}$，$·s$；
(3) $\frac{1}{2}$，2，$\frac{9}{2}$，8，$·s$；
(4) 0，1，0，1，$·s$；
(5) 9，99，999，9 999，$·s$.
听课笔记：
[变式探究]
（变条件）根据本例中的第(5)题，试解决以下 3 个问题：
1. 试写出前 4 项为 1，11，111，1 111 的一个通项公式.
2. 试写出前 4 项为 7，77，777，7 777 的一个通项公式.
3. 试写出前 4 项为 0.8，0.88，0.888，0.888 8 的一个通项公式.

答案： 解：
(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为$a_n = \frac{(-1)^n}{n},n\in\mathbf{N}_+.(2)$这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为$a_n = \frac{(n + 1)^2 - 1}{n + 1},n\in\mathbf{N}_+.(3)$数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：$\frac{1}{2},\frac{4}{2},\frac{9}{2},\frac{16}{2}，$所以它的一个通项公式为$a_n = \frac{n^2}{2},n\in\mathbf{N}_+.(4)$这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成$a_n = \begin{cases} 0, & n$为奇数, \\ 1, & n为偶数$. \end{cases} $也可以写成$a_n = \frac{1 + (-1)^n}{2}(n\in\mathbf{N}_+)$或$a_n = \frac{1 + \cos n\pi}{2}(n\in\mathbf{N}_+).(5)$各项加1后，变为10,100,1000,10000，此数列的通项公式为10^n，可得原数列的一个通项公式为a_n = 10^n - 1，$n\in\mathbf{N}_+.$答案精析[变式探究]1.解：由本例的第
(5)题可知，每一项除以9即可，即$a_n = \frac{1}{9}(10^n - 1),n\in\mathbf{N}_+.2.$解：由本例的第
(5)题可知，每一项乘$\frac{7}{9}$即可，即$a_n = \frac{7}{9}(10^n - 1),n\in\mathbf{N}_+.3.$解：原数列前4项可变形为$\frac{8}{9}(1 - \frac{1}{10}),\frac{8}{9}(1 - \frac{1}{10^2})，$$\frac{8}{9}(1 - \frac{1}{10^3}),\frac{8}{9}(1 - \frac{1}{10^4})，$故所给数列的一个通项公式为$a_n = \frac{8}{9}(1 - \frac{1}{10^n}),n\in\mathbf{N}_+.$