《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

问题1. 我们已经了解到数列是一种特殊的函数，根据等差数列的通项公式，你认为它与哪一类函数有关？

答案： 一次函数.由于$a_n=a_1+(n - 1)d=dn+(a_1 - d)$，故$a_n$是函数$f(x)=dx+(a_1 - d)$当$x=n$时的函数值，即$a_n=f(n)$，点$(n,a_n)$则是函数$f(x)=dx+(a_1 - d)$图象上均匀分布的孤立的点，而$d$是直线$f(x)=dx+(a_1 - d)$的斜率。

1. 等差数列的函数特征
对于$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d = dn+(a_{1}-d)$，可将$a_{n}$记作$f(n)$，它是定义在__________上的函数. 其图象是直线$y = dx+(a_{1}-d)$上的一些__________的点，这些点的横坐标是__________，其中__________是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加____.

答案： 1. 正整数集（或其子集）　等间隔　正整数　公差$d$　$d$

2. 等差数列的增减性
对于$a_{n}=dn+(a_{1}-d)$，
(1) 当$d＞0$时，数列$\{ a_{n}\}$为__________数列，如图①所示；
(2) 当$d＜0$时，数列$\{ a_{n}\}$为__________数列，如图②所示；
(3) 当$d = 0$时，数列$\{ a_{n}\}$为__________数列，如图③所示.
[微提醒] (1)等差数列的图象是直线$y = dx+(a_{1}-d)$上均匀分布的一群孤立的点. (2)通项法判定等差数列：当$d\neq0$时，$a_{n}$为$n$的一次函数$\Leftrightarrow \{ a_{n}\}$为等差数列.

答案： 2.
(1)递增　
(2)递减　
(3)常

典例1
已知等差数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=3n + 1$.
(1) 求首项$a_{1}$和公差$d$，并作出它的图象；
(2) 判断数列$\{ a_{n}\}$的增减性.
听课笔记：

答案：
解：
(1)因为$a_n = 3n + 1$，
所以$a_1 = 3 + 1 = 4$，$a_2 = 3×2 + 1 = 7$，$d = a_2 - a_1 = 3$。
数列$\{a_n\}$的图象是直线$y = 3x + 1$上一些等间隔的点，如图所示：

(2)由
(1)知$d＞0$，所以数列$\{a_n\}$是递增数列。

对点练1.（多选题）下列判断正确的是（ ）
A.等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{3}=4$，$a_{4}=2$，则数列$\{ a_{n}\}$是递增数列
B.若$a_{n}=kn + b$（$k$，$b$为常数，$n\in\mathbf{N}_{+}$），则数列$\{ a_{n}\}$是等差数列
C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率
D.若数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，且$a_{n}=kn^{2}-n$，则$k = 0$

答案： BCD　对于A，公差$d = a_4 - a_3 = - 2＜0$，所以数列$\{a_n\}$是递减数列；因为等差数列的通项公式是关于$n$的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B、C、D均正确。故选BCD。