《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

对点练5. 在通常情况下，从地面到$10$km高空，高度每增加$1$km，气温就下降某一个固定数值. 如果$1$km高度的气温是$8.5^{\circ}C$，$5$km高度的气温是$-17.5^{\circ}C$，求$2$km，$4$km，$8$km高度的气温.

答案： 解：由题意可知，自下而上各高度气温组成等差数列，记为$\{a_n\}$，公差为$d$，
则$a_1 = 8.5$，$a_5 = - 17.5$。
由$a_5 = a_1 + 4d = 8.5 + 4d = - 17.5$，
解得$d = - 6.5$，
所以$a_n = 8.5 + (n - 1)×(-6.5)=15 - 6.5n$（$1\leq n\leq10$，$n\in N^+$）。
所以$a_2 = 15 - 6.5×2 = 2$，$a_4 = 15 - 6.5×4 = - 11$，$a_8 = 15 - 6.5×8 = - 37$，
即2km，4km，8km高度的气温分别为$2℃$，$-11℃$，$-37℃$。

1. 若$a=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，$b=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，则$a$，$b$的等差中项为( )

A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 1. A　由题意知$a$，$b$的等差中项为$\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}})=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2})=\sqrt{3}$。故选A。

2.(多选题)已知各项均为正数的等差数列$\{ a_{n}\}$单调递增，且$a_{5}=2$，则( )

A.公差$d$的取值范围是$(-\infty,\frac{1}{2})$
B.$2a_{7}=a_{9}+2$
C.$a_{8}+a_{4}＞a_{6}+a_{5}$
D.$a_{1}+a_{9}=4$

答案： 2. BCD　由题意得$d＞0$，$a_1＞0$，$a_5 = 2$，所以$a_1 = 2 - 4d＞0$，解得$d＜\frac{1}{2}$，所以$d\in(0,\frac{1}{2})$，故A错误；由$2a_7 - a_9=(a_5 + a_9) - a_9 = a_5 = 2$，故B正确；由$a_9 + a_4 - (a_6 + a_5)=a_9 - a_6 - (a_5 - a_4)=2d - d = d＞0$，故$a_9 + a_4＞a_6 + a_5$，故C正确；由等差数列性质，$a_1 + a_9 = 2a_5 = 4$，故D正确。故选BCD。

3. 有两个等差数列$2$，$6$，$10$，$·s$，$190$和$2$，$8$，$14$，$·s$，$200$，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为( )

A.15
B.16
C.17
D.18

答案： 3. B　由题意知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为$a_n = 12n - 10$，所以$12n - 10\leq190$，解得$n\leq\frac{50}{3}$，而$n\in N^+$，所以$n$的最大值为16。故选B。

4. 诺沃尔(Knowall)在$1740$年发现了一颗彗星，并推算出在$1823$年、$1906$年、$1989$年$·s·s$人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔$83$年出现一次. 从发现那次算起，彗星第$10$次出现的年份是__________.
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答案： 4. 2487　由题意可知，彗星出现的年份构成一个公差为$d = 83$，首项为$a_1 = 1740$的等差数列，所以$a_n = a_1 + (n - 1)d = 1740 + 83(n - 1)=83n + 1657$，当$n = 10$时，$a_{10} = 83×10 + 1657 = 2487$，所以彗星第10次出现的年份是2487。