《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

写出数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：
(1) $\frac{2}{3}$，$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{7}$，$\frac{16}{9}$；
(2) $-\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$-\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$；
(3) 3，4，3，4；
(4) 6，66，666，6 666.
听课笔记：

答案： 解：
(1)4个项都是分数，它们的分子依次为$2,2^2,2^3,2^4，$分母是正奇数，依次为2×1 + 1,2×2 + 1,2×3 + 1,2×4 + 1，所以给定4项都满足的一个通项公式为$a_n = \frac{2^n}{2n + 1}.(2)4$个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为1,2,3,4，分母比对应分子多1，所以给定4项都满足的一个通项公式为$a_n = (-1)^n\frac{n}{n + 1}.(3)4$个项是第1,3项均为3，第2,4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为$a_n = \begin{cases} 3, & n = 2k - 1, \\ 4, & n = 2k \end{cases} (k\in\mathbf{N}_+).(4)4$个项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，依次可写为$6 = \frac{2}{3}(10 - 1),66 = \frac{2}{3}(10^2 - 1)，$$666 = \frac{2}{3}(10^3 - 1),6666 = \frac{2}{3}(10^4 - 1)，$所以给定4项都满足的一个通项公式为$a_n = \frac{2}{3}(10^n - 1).$

典例 3
已知数列$\{a_n\}$的通项公式为 $a_n = \frac{n + 6}{n}$，$n \in \mathbf{N}_+$.
(1) 求 $a_{10}$；
(2) $\frac{53}{50}$是不是这个数列中的项？
(3) 这个数列中有多少项是整数？
(4) 该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由.
听课笔记：

答案： 解：$(1)a_{10} = \frac{10 + 6}{10} = \frac{8}{5}.(2)$令$\frac{n + 6}{n} = \frac{53}{50}，$得n = 100，故$\frac{53}{50}$是这个数列中的项.
(3)易知$a_n = 1 + \frac{6}{n}，$若a_n是整数，则n = 1,2,3,6，故这个数列中共有4项是整数.
(4)令$\frac{n + 6}{n} = n，$得$n^2 - n - 6 = 0，$解得n = 3或n = -2(舍去).故该数列中有等于项数的项，该项为$a_3 = 3.$

已知数列$\{a_n\}$的通项公式为 $a_n = \frac{1}{n(n + 2)}$.
(1) 计算 $a_3 + a_4$ 的值；
(2) $\frac{1}{120}$是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.

答案： 解：　　
$(1)$因为$a_n = \frac{1}{n(n + 2)}，$所以$a_3 = \frac{1}{3×5} = \frac{1}{15},a_4 = \frac{1}{4×6} = \frac{1}{24}，$所以$a_3 + a_4 = \frac{1}{15} + \frac{1}{24} = \frac{13}{120}.(2)$若$\frac{1}{120}$为数列$\{a_n\}$中的项，则$\frac{1}{n(n + 2)} = \frac{1}{120}，$所以$n(n + 2) = 120，$所以$n^2 + 2n - 120 = 0，$所以$n = 10$或$n = -12($舍$)，$即$\frac{1}{120}$是数列$\{a_n\}$的第$10$项$.$