《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

问题1. 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题。
(1) 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：$9,9^{2},9^{3},9^{4},9^{5},9^{6},9^{7},9^{8}$；
(2) 《庄子·杂篇·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},·s$；
(3) $-\frac{1}{3}$的$n$次幂按1次幂、2次幂、3次幂……，依次排成一列数：$-\frac{1}{3},\frac{1}{9},-\frac{1}{27},\frac{1}{81},·s$。
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？

答案： 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于
(1)，我们发现$\frac{9^2}{9}=9,\frac{9^3}{9^2}=9,\frac{9^4}{9^3}=9,·s$，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于
(2)，$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=2,\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{8}}=2,·s$；对于
(3)，$\frac{-\frac{1}{9}}{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3},·s$；也有相同的取值规律(从第2项开始，后一项与它的前一项的比都等于同一个常数).

等比数列的定义
[微提醒] (1) 等比数列定义的符号语言也可以表示为：$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q$（$q$为常数且$q\neq 0$，$n\in N_{+}$）。(2) 定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”。(3) 公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0。

答案： 同一个常数$\frac{a_n}{a_{n - 1}}=q(n\geq2,n\in N_+,q\neq0)$

典例1（链教材P23例1）判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比。
(1) $1,\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{9},\frac{1}{12},·s$；
(2) $10,10,10,10,10,·s$；
(3) $\frac{2}{3},(\frac{2}{3})^{2},(\frac{2}{3})^{3},(\frac{2}{3})^{4},·s$；
(4) $1,0,1,0,1,0,·s$；
(5) $1,-4,16,-64,256,·s$。
听课笔记：

答案： 解：
(1)不是等比数列；
(2)是等比数列，公比为1；
(3)是等比数列，公比为$\frac{2}{3}$；
(4)不是等比数列；
(5)是等比数列，公比为-4.