《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

典例 2 求下列函数的导数：
（1）$ y = 2026 $；（2）$ y = (\frac{1}{3})^{x} $；（3）$ y = \lg x $；（4）$ y = \frac{x^{2}}{\sqrt{x}} $；（5）$ y = 2\cos^{2}(\frac{x}{2}) - 1 $.
听课笔记：

答案： 典例2 解：
(1)$y' = 0$.
(2)$y' = \left( \frac{1}{3} \right)^x \ln \frac{1}{3} = - \left( \frac{1}{3} \right)^x \ln 3$.
(3)$y' = \frac{1}{x \ln 10}$.
(4)因为$y = \frac{x^2}{\sqrt{x}} = x^{\frac{3}{2}}$，
所以$y' = (x^{\frac{3}{2}})' = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \sqrt{x}$.
(5)因为$y = 2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) - 1 = \cos x$，
所以$y' = (\cos x)' = - \sin x$.

对点练 2. 求下列函数的导数：
（1）$ y = \sin \frac{\pi}{6} $；（2）$ y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} $；
（3）$ y = 4^{x} $；（4）$ y = \log_{3}x $.

答案： 对点练2.解：
(1)$y' = 0$.
(2)因为$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = x^{- \frac{2}{3}}$，
所以$y' = - \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}} = - \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}}$.
(3)因为$y = 4^x$，所以$y' = 4^x \ln 4$.
(4)因为$y = \log_3 x$，
所以$y' = \frac{1}{x \ln 3}$.

典例 3 已知曲线 $ y = \ln x $，点 $ P(e, 1) $ 是曲线上一点，求曲线在点 $ P $ 处的切线方程.
听课笔记：
[变式探究]
1. （变设问）求曲线 $ y = \ln x $ 的斜率等于 4 的切线方程.
2. （变条件，变设问）求曲线 $ y = \ln x $ 过点 $ M(0, 1) $ 的切线方程.

答案： 典例3 解：因为$y' = \frac{1}{x}$，所以切线的斜率$k = \frac{1}{e}$，
所以切线方程为$y - 1 = \frac{1}{e} (x - e)$，即$x - ey = 0$.
[变式探究]
1.解：设切点坐标为$(x_0, y_0)$.
因为$y' = \frac{1}{x}$，曲线$y = \ln x$在点$(x_0, y_0)$处的切线的斜率等于4，
所以$\frac{1}{x_0} = 4$，得$x_0 = \frac{1}{4}$，
所以$y_0 = - \ln 4$，所以切点为$\left( \frac{1}{4}, - \ln 4 \right)$，
所以所求切线方程为$y + \ln 4 = 4 \left( x - \frac{1}{4} \right)$，
即$4x - y - 1 - \ln 4 = 0$.
2.解：因为$M(0,1)$不在曲线$y = \ln x$上，
所以设切点为$Q(x_0, y_0)$，则切线的斜率$k = \frac{1}{x_0}$
又切线的斜率$k = \frac{y_0 - 1}{x_0 - 0} = \frac{\ln x_0 - 1}{x_0}$，
所以$\frac{\ln x_0 - 1}{x_0} = \frac{1}{x_0}$，即$\ln x_0 - 1 = 1$，
所以$x_0 = e^2$，所以$k = \frac{1}{e^2}$，
所以切线方程为$y - 1 = \frac{1}{e^2} (x - 0)$，
即$x - e^2 y + e^2 = 0$.