《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

问题2. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为$40$mm，满盘时直径为$100$mm. 已知卫生纸的厚度为$0.2$mm，将绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，则从最内层到最外层卫生纸所在圆的半径分别为$20.2$mm，$20.4$mm，$20.6$mm，$20.8$mm，$21.0$mm，$·s$，$50.0$mm. 观察上面这个数列，其任意连续三项之间有什么样的关系？

答案： 前一项与后一项的和是中间项的2倍。

如果在$a$与$b$之间插入一个数$A$，使$a$，$A$，$b$成等差数列，那么$A$叫作$a$与$b$的__________. 如果$A$是$a$与$b$的等差中项，那么$A - a = b - A$，所以$A=$__________. 显然，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.
[微提醒] (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一. (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即$A=\frac{a + b}{2}$.

答案： 等差中项　$\frac{a + b}{2}$

典例2
若$m$和$2n$的等差中项为$4$，$2m$和$n$的等差中项为$5$，求$m$和$n$的等差中项.
听课笔记：

答案： 解：由$m$和$2n$的等差中项为4，得$m + 2n = 8$。
又由$2m$和$n$的等差中项为5，得$2m + n = 10$。
两式相加，得$3m + 3n = 18$，即$m + n = 6$。
所以$m$和$n$的等差中项为$\frac{m + n}{2}=3$。

对点练2. 在$-1$与$7$之间顺次插入三个数$a$，$b$，$c$，使这五个数成等差数列，求此数列.

答案： 解：因为$-1,a,b,c,7$成等差数列，
所以$b$是$-1$与$7$的等差中项，所以$b = \frac{-1 + 7}{2}=3$。
又$a$是$-1$与$3$的等差中项，所以$a = \frac{-1 + 3}{2}=1$。
又$c$是$3$与$7$的等差中项，所以$c = \frac{3 + 7}{2}=5$。
所以该数列为$-1,1,3,5,7$。

问题3. 已知$a_{n}$，$a_{m}$是等差数列$\{ a_{n}\}$中的任意两项，你能利用通项公式建立两者之间的关系吗？

答案： 问题3. 由$a_n = a_1 + (n - 1)d$，$a_m = a_1 + (m - 1)d$两式相减得$a_n - a_m = (n - m)d$，即$a_n = a_m + (n - m)d$。

问题4. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，如果$p + q = m + n$（$m$，$n$，$p$，$q\in\mathbf{N}_{+}$），那么$a_{p}+a_{q}$与$a_{m}+a_{n}$有何数量关系？

答案： 问题4. 设等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则$a_p = a_1 + (p - 1)d$，$a_q = a_1 + (q - 1)d$，$a_m = a_1 + (m - 1)d$，$a_n = a_1 + (n - 1)d$，所以$a_p + a_q = 2a_1 + (p + q - 2)d$，$a_m + a_n = 2a_1 + (m + n - 2)d$，因为$p + q = m + n$，所以$a_p + a_q = a_m + a_n$。