《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

（1）设曲线 $ f(x)=ax^2 $ 在点 $ (1,a) $ 处的切线与直线 $ 2x - y - 6 = 0 $ 平行，则 $ a $ 等于（ ）

A.$ 1 $
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$ -1 $

答案： （1）A

（2）已知曲线 $ y = f(x) = 2x^2 + 4x $ 在点 $ P $ 处的切线斜率为 $ 16 $，则点 $ P $ 的坐标为____.

答案： （2)(3,30)

1. 曲线 $ y = -2x^2 + 1 $ 在点 $ (0,1) $ 处的切线的斜率是( )

A.$ -4 $
B.$ 4 $
C.$ 0 $
D.不存在

答案： 1.C

2. 设函数 $ f(x) $ 在点 $ (1,f(1)) $ 处的切线方程为 $ y = 4x - 3 $，则 $\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$ 等于( )

A.$ 4 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $
D.$ -3 $

答案： 2.A

3. 曲线 $ y=\frac{1}{4}x^2 $ 在点 $ (2,1) $ 处的切线方程为( )

A.$ x - y - 1 = 0 $
B.$ x + y - 3 = 0 $
C.$ x - y + 1 = 0 $
D.$ x + y - 1 = 0 $

答案： 3.A

4. 已知函数 $ f(x)=\frac{1}{x} $ 在 $ x = x_0 $ 处的切线的倾斜角为 $ 135° $，则 $ x_0 = $____.

答案： 4.$\pm1$

问题 1. 如何利用导数的定义求函数 $ f(x) = \frac{1}{x} + x $ 在 $ x = x_{0} $ 处的导数？

答案： 问题1.$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{1}{x_0 + \Delta x} + (x_0 + \Delta x) - \left( \frac{1}{x_0} + x_0 \right) = \frac{\Delta x}{x_0^2 + x_0 \Delta x} + \Delta x · \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{x_0^2 + x_0 \Delta x} + 1$.
当$\Delta x$趋于0时，得到导数$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{1}{x_0^2 + x_0 \Delta x} + 1 \right) = - \frac{1}{x_0^2} + 1$.

问题 2. 当 $ x_{0} $ 在定义域内任意取值时，问题 1 中的 $ f'(x_{0}) $ 的值如何？

答案： 问题2.对于定义域中的每一个自变量的取值$x_0$，都有唯一一个导数值$f'(x_0) = - \frac{1}{x_0^2} + 1$与之对应，所以$f'(x) = - \frac{1}{x^2} + 1$是$x$的函数.