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2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
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问题 1. 若等比数列 $ \{ a_{n}\} $ 的首项是 $ a_{1} $，公比是 $ q $，如何求该等比数列的前 $ n $ 项的和？
答案：
思路一：因为$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+·s+a_{n-1}+a_{n}，$所以$S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+·s+a_{1}q^{n-2}+a_{1}q^{n-1}，$上式中每一项都乘等比数列的公比可得$qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+·s+a_{1}q^{n-1}+a_{1}q^{n}，$发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得$S_{n}-qS_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}，$即$(1-q)S_{n}=a_{1}(1-q^{n})，$当$q\neq1$时，有$S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}，$而当q=1时，$S_{n}=na_{1}.$上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”。
思路二：当$q\neq1$时，由等比数列的定义得$\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=·s=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q，$根据等比数列的性质，有$\frac{a_{2}+a_{3}+·s+a_{n}}{a_{1}+a_{2}+·s+a_{n-1}}=\frac{S_{n}-a_{1}}{S_{n}-a_{n}}=q\Rightarrow(1-q)S_{n}=a_{1}-a_{n}q，$所以当$q\neq1$时，$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}，$该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式。
通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$相互转化。
思路三：$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+·s+a_{n}=a_{1}+q(a_{1}+a_{2}+·s+a_{n-1})，$所以有$S_{n}=a_{1}+qS_{n-1}\Rightarrow S_{n}=a_{1}+q(S_{n}-a_{n})\Rightarrow(1-q)S_{n}=a_{1}-a_{n}q，$所以当$q\neq1$时，$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}$或$S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}，$显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决。
思路二：当$q\neq1$时，由等比数列的定义得$\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=·s=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q，$根据等比数列的性质，有$\frac{a_{2}+a_{3}+·s+a_{n}}{a_{1}+a_{2}+·s+a_{n-1}}=\frac{S_{n}-a_{1}}{S_{n}-a_{n}}=q\Rightarrow(1-q)S_{n}=a_{1}-a_{n}q，$所以当$q\neq1$时，$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}，$该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式。
通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$相互转化。
思路三：$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+·s+a_{n}=a_{1}+q(a_{1}+a_{2}+·s+a_{n-1})，$所以有$S_{n}=a_{1}+qS_{n-1}\Rightarrow S_{n}=a_{1}+q(S_{n}-a_{n})\Rightarrow(1-q)S_{n}=a_{1}-a_{n}q，$所以当$q\neq1$时，$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}$或$S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}，$显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决。
等比数列的前 $ n $ 项和公式
[微提醒] (1) 等比数列前 $ n $ 项和公式及通项公式中共有五个量 $ a_{1}, q, a_{n}, n, S_{n} $，这五个量可“知三求二”.
(2) 利用等比数列的前 $ n $ 项和公式求和时，要特别注意公比 $ q $ 的取值，应分 $ q = 1 $ 和 $ q \neq 1 $ 两种情况，如果其中含有参数不能确定时，必须进行分类讨论.
[微提醒] (1) 等比数列前 $ n $ 项和公式及通项公式中共有五个量 $ a_{1}, q, a_{n}, n, S_{n} $，这五个量可“知三求二”.
(2) 利用等比数列的前 $ n $ 项和公式求和时，要特别注意公比 $ q $ 的取值，应分 $ q = 1 $ 和 $ q \neq 1 $ 两种情况，如果其中含有参数不能确定时，必须进行分类讨论.
答案：
1. 当已知首项$a_{1}$、公比$q$与项数$n$时：
若$q = 1$，根据等比数列前$n$项和的定义（每一项都相等，$a_{n}=a_{1}$），$S_{n}=a_{1}+a_{2}+·s +a_{n}=a_{1}+a_{1}+·s +a_{1}=na_{1}$；
若$q\neq1$，由等比数列前$n$项和公式的推导（错位相减法）可得$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$。
2. 当已知首项$a_{1}$、末项$a_{n}$与公比$q$时：
因为$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$，则$q^{n}=\frac{a_{n}q}{a_{1}}$，代入$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$（$q\neq1$）可得$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$；当$q = 1$时，$a_{n}=a_{1}$，$S_{n}=na_{1}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$（此时$q = 1$代入$\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$，分母为$0$，从$S_{n}=na_{1}$与$a_{n}=a_{1}$的关系看，也符合$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$这种形式的极限情况）。
所以答案依次为：$S_{n}=\begin{cases}na_{1},q = 1\\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q},q\neq1\end{cases}$；$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}(q\neq1)$。
若$q = 1$，根据等比数列前$n$项和的定义（每一项都相等，$a_{n}=a_{1}$），$S_{n}=a_{1}+a_{2}+·s +a_{n}=a_{1}+a_{1}+·s +a_{1}=na_{1}$；
若$q\neq1$，由等比数列前$n$项和公式的推导（错位相减法）可得$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$。
2. 当已知首项$a_{1}$、末项$a_{n}$与公比$q$时：
因为$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$，则$q^{n}=\frac{a_{n}q}{a_{1}}$，代入$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$（$q\neq1$）可得$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$；当$q = 1$时，$a_{n}=a_{1}$，$S_{n}=na_{1}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$（此时$q = 1$代入$\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$，分母为$0$，从$S_{n}=na_{1}$与$a_{n}=a_{1}$的关系看，也符合$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$这种形式的极限情况）。
所以答案依次为：$S_{n}=\begin{cases}na_{1},q = 1\\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q},q\neq1\end{cases}$；$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}(q\neq1)$。
典例 1 (链教材 P29 例 5) 在等比数列 $ \{ a_{n}\} $ 中：
(1) $ S_{2} = 30 $，$ S_{3} = 155 $，求 $ S_{n} $；
(2) $ a_{1} + a_{3} = 10 $，$ a_{4} + a_{6} = \frac{5}{4} $，求 $ S_{5} $；
(3) $ a_{1} + a_{n} = 66 $，$ a_{2}a_{n - 1} = 128 $，$ S_{n} = 126 $，求公比 $ q $；
(4) 若 $ S_{3} + S_{6} = S_{9} $，求其公比 $ q $.
听课笔记：
[变式探究]
(变条件) 本例 (4) 中，若将条件改为“数列 $ \{ a_{n}\} $ 是等比数列，且 $ S_{3} = 3a_{3} $”，求其公比 $ q $ 的值.
(1) $ S_{2} = 30 $，$ S_{3} = 155 $，求 $ S_{n} $；
(2) $ a_{1} + a_{3} = 10 $，$ a_{4} + a_{6} = \frac{5}{4} $，求 $ S_{5} $；
(3) $ a_{1} + a_{n} = 66 $，$ a_{2}a_{n - 1} = 128 $，$ S_{n} = 126 $，求公比 $ q $；
(4) 若 $ S_{3} + S_{6} = S_{9} $，求其公比 $ q $.
听课笔记：
[变式探究]
(变条件) 本例 (4) 中，若将条件改为“数列 $ \{ a_{n}\} $ 是等比数列，且 $ S_{3} = 3a_{3} $”，求其公比 $ q $ 的值.
答案：
解：
(1)由题意知$\begin{cases}a_{1}(1+q)=30,\\a_{1}(1+q+q^{2})=155,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_{1}=5,\\q=5.\end{cases}$或$\begin{cases}a_{1}=180,\\q=-\frac{5}{6}.\end{cases}$
从而$S_{n}=\frac{1}{4}×5^{n+1}-\frac{5}{4}$或$S_{n}=\frac{1080×[1-(-\frac{5}{6})^{n}]}{11}$
(2)法一：由题意知$\begin{cases}a_{1}+a_{1}q^{2}=10,\\a_{1}q^{3}+a_{1}q^{5}=\frac{5}{4}\end{cases}$解得$\begin{cases}a_{1}=8,\\q=\frac{1}{2},\end{cases}$
从而$S_{5}=\frac{a_{1}(1-q^{5})}{1-q}=\frac{31}{2}.$
法二：由$a_{4}+a_{6}=(a_{1}+a_{3})q^{3}，$
得$q^{3}=\frac{1}{8}，$从而$q=\frac{1}{2}.$
又$a_{1}+a_{3}=a_{1}(1+q^{2})=10，$
所以$a_{1}=8，$
从而$S_{5}=\frac{a_{1}(1-q^{5})}{1-q}=\frac{31}{2}.$
(3)因为$a_{2}a_{n-1}=a_{1}a_{n}=128，$且$a_{1}+a_{n}=66，$
所以$a_{1},a_{n}$是方程$x^{2}-66x+128=0$的两个根.
从而$\begin{cases}a_{1}=2,\\a_{n}=64\end{cases}$或$\begin{cases}a_{n}=2,\\a_{1}=64.\end{cases}$
又$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}=126，$所以q=2或$\frac{1}{2}.$
(4)若q=1，则$S_{3}=3a_{1},S_{6}=6a_{1},S_{9}=9a_{1}，$
显然满足$S_{3}+S_{6}=S_{9}，$所以q=1符合题意；
若$q\neq1，$则$\frac{a_{1}(1-q^{3})}{1-q}+\frac{a_{1}(1-q^{6})}{1-q}=\frac{a_{1}(1-q^{9})}{1-q}$
整理得$(q^{6}-1)(q^{3}-1)=0，$解得q=-1(q=1舍去).
综上，公比q的值等于1或-1.
[变式探究]
解：法一：当q=1时，$S_{3}=3a_{1}=3a_{3}，$符合题意；
当$q\neq1$时，$\frac{a_{1}(1-q^{3})}{1-q}=3a_{1}q^{2}，$因为$a_{1}\neq0，$
所以$1-q^{3}=3q^{2}(1-q)，$
解得$q=-\frac{1}{2}.$综上，q=1或$q=-\frac{1}{2}.$
法二：由$S_{3}=3a_{3}$可知$a_{1}+a_{1}q-2a_{1}q^{2}=0.$
由于$a_{1}\neq0，$则$2q^{2}-q-1=0，$解得q=1或$q=-\frac{1}{2}.$
(1)由题意知$\begin{cases}a_{1}(1+q)=30,\\a_{1}(1+q+q^{2})=155,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_{1}=5,\\q=5.\end{cases}$或$\begin{cases}a_{1}=180,\\q=-\frac{5}{6}.\end{cases}$
从而$S_{n}=\frac{1}{4}×5^{n+1}-\frac{5}{4}$或$S_{n}=\frac{1080×[1-(-\frac{5}{6})^{n}]}{11}$
(2)法一：由题意知$\begin{cases}a_{1}+a_{1}q^{2}=10,\\a_{1}q^{3}+a_{1}q^{5}=\frac{5}{4}\end{cases}$解得$\begin{cases}a_{1}=8,\\q=\frac{1}{2},\end{cases}$
从而$S_{5}=\frac{a_{1}(1-q^{5})}{1-q}=\frac{31}{2}.$
法二：由$a_{4}+a_{6}=(a_{1}+a_{3})q^{3}，$
得$q^{3}=\frac{1}{8}，$从而$q=\frac{1}{2}.$
又$a_{1}+a_{3}=a_{1}(1+q^{2})=10，$
所以$a_{1}=8，$
从而$S_{5}=\frac{a_{1}(1-q^{5})}{1-q}=\frac{31}{2}.$
(3)因为$a_{2}a_{n-1}=a_{1}a_{n}=128，$且$a_{1}+a_{n}=66，$
所以$a_{1},a_{n}$是方程$x^{2}-66x+128=0$的两个根.
从而$\begin{cases}a_{1}=2,\\a_{n}=64\end{cases}$或$\begin{cases}a_{n}=2,\\a_{1}=64.\end{cases}$
又$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}=126，$所以q=2或$\frac{1}{2}.$
(4)若q=1，则$S_{3}=3a_{1},S_{6}=6a_{1},S_{9}=9a_{1}，$
显然满足$S_{3}+S_{6}=S_{9}，$所以q=1符合题意；
若$q\neq1，$则$\frac{a_{1}(1-q^{3})}{1-q}+\frac{a_{1}(1-q^{6})}{1-q}=\frac{a_{1}(1-q^{9})}{1-q}$
整理得$(q^{6}-1)(q^{3}-1)=0，$解得q=-1(q=1舍去).
综上，公比q的值等于1或-1.
[变式探究]
解：法一：当q=1时，$S_{3}=3a_{1}=3a_{3}，$符合题意；
当$q\neq1$时，$\frac{a_{1}(1-q^{3})}{1-q}=3a_{1}q^{2}，$因为$a_{1}\neq0，$
所以$1-q^{3}=3q^{2}(1-q)，$
解得$q=-\frac{1}{2}.$综上，q=1或$q=-\frac{1}{2}.$
法二：由$S_{3}=3a_{3}$可知$a_{1}+a_{1}q-2a_{1}q^{2}=0.$
由于$a_{1}\neq0，$则$2q^{2}-q-1=0，$解得q=1或$q=-\frac{1}{2}.$
对点练 1. 在等比数列 $ \{ a_{n}\} $ 中：
(1) 若 $ a_{1} = \sqrt{2} $，$ a_{n} = 16\sqrt{2} $，$ S_{n} = 11\sqrt{2} $，求 $ n $ 和 $ q $；
(2) 已知 $ S_{4} = 1 $，$ S_{8} = 17 $，求 $ a_{n} $.
(1) 若 $ a_{1} = \sqrt{2} $，$ a_{n} = 16\sqrt{2} $，$ S_{n} = 11\sqrt{2} $，求 $ n $ 和 $ q $；
(2) 已知 $ S_{4} = 1 $，$ S_{8} = 17 $，求 $ a_{n} $.
答案：
解：
(1)由$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}，$得$11\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}-16\sqrt{2}q}{1-q}，$
解得q=-2.
又$a_{n}=a_{1}q^{n-1}，$得$16\sqrt{2}=\sqrt{2}·(-2)^{n-1}，$
解得n=5.
所以n=5,q=-2.
(2)显然$q\neq\pm1，$则$S_{4}=\frac{a_{1}(1-q^{4})}{1-q}=1，$
$S_{8}=\frac{a_{1}(1-q^{8})}{1-q}=17，$
两式相除得$\frac{1-q^{8}}{1-q^{4}}=1+q^{4}=17，$解得$q=\pm2.$
当q=2时可解得$a_{1}=\frac{1}{15}，$
则$a_{n}=\frac{1}{15}·2^{n-1}；$
当q=-2时可解得$a_{1}=-\frac{1}{5}，$
则$a_{n}=-\frac{1}{5}·(-2)^{n-1}.$
所以$a_{n}=\frac{1}{15}·2^{n-1}$或$a_{n}=-\frac{1}{5}·(-2)^{n-1}.$
(1)由$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}，$得$11\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}-16\sqrt{2}q}{1-q}，$
解得q=-2.
又$a_{n}=a_{1}q^{n-1}，$得$16\sqrt{2}=\sqrt{2}·(-2)^{n-1}，$
解得n=5.
所以n=5,q=-2.
(2)显然$q\neq\pm1，$则$S_{4}=\frac{a_{1}(1-q^{4})}{1-q}=1，$
$S_{8}=\frac{a_{1}(1-q^{8})}{1-q}=17，$
两式相除得$\frac{1-q^{8}}{1-q^{4}}=1+q^{4}=17，$解得$q=\pm2.$
当q=2时可解得$a_{1}=\frac{1}{15}，$
则$a_{n}=\frac{1}{15}·2^{n-1}；$
当q=-2时可解得$a_{1}=-\frac{1}{5}，$
则$a_{n}=-\frac{1}{5}·(-2)^{n-1}.$
所以$a_{n}=\frac{1}{15}·2^{n-1}$或$a_{n}=-\frac{1}{5}·(-2)^{n-1}.$
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