《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

问题 1. 下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：

观察上表，每 $10$ 分钟病人的体温变化相同吗？哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？

答案： 问题1.每10分钟病人的体温变化不相同，从20分钟到30分钟变化最快，用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢．

平均变化率
1. 定义：对一般的函数 $y = f(x)$ 来说，当自变量 $x$ 从 $x_1$ 变为 $x_2$ 时，函数值从 $f(x_1)$ 变为 $f(x_2)$，它在区间 $[x_1, x_2]$ 的平均变化率 $=$ __________. 把自变量的变化 __________ 称作自变量 $x$ 的改变量，记作 __________，函数值的变化 __________ 称作函数值 $y$ 的改变量，记作 __________. 这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 $\frac{\Delta y}{\Delta x} =$ __________.
2. 作用：刻画函数值在区间 __________ 上变化的快慢.
[微提醒] （1）$\Delta x$ 是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而 $\Delta y$ 是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零. （2）函数的平均变化率可正可负，反映函数 $y = f(x)$ 在 $[x_1, x_2]$ 上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快.

答案： 1.$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}$ $x_2 - x_1$ $\Delta x$ $f(x_2)-f(x_1)$ $\Delta y$ $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}$ 2.$[x_1,x_2]$

典例 1
某物体运动的位移 $s$ 与时间 $t$ 之间的函数关系式为 $s(t) = \sin t$，$t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.
（1）分别求物体在区间 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 和 $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的平均速度；
（2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义.

答案：
（1）物体在区间$[0,\frac{\pi}{4}]$上的平均速度为$v_1 = \frac{s(\frac{\pi}{4}) - s(0)}{\frac{\pi}{4} - 0} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - 0}{\frac{\pi}{4}} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}$．物体在区间$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$上的平均速度为$v_2 = \frac{s(\frac{\pi}{2}) - s(\frac{\pi}{4})}{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\pi}{4}} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{\pi}$．（2）由（1）可知$v_1 - v_2 = \frac{4\sqrt{2} - 4}{\pi} ＞ 0$，所以$v_1 ＞ v_2$．作出函数$s(t) = \sin t$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的图象，如图所示， 可以发现，$s(t) = \sin t$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上随着$t$的增大，函数值$s(t)$变化得越来越慢．