《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

典例5
数列 $ \{ a_{n} \} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，已知 $ a_{n} = 5S_{n} - 3(n \in \mathbf{N}_{+}) $，求 $ a_{n} $ 的通项公式.
听课笔记：

答案： $a_n = \frac{3}{4} × ( - \frac{1}{4})^{n - 1}$

数列 $ \{ a_{n} \} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，且 $ S_{n} = n(n + 1)(n \in \mathbf{N}^{*}) $.
（1）求数列 $ \{ a_{n} \} $ 的通项公式；
（2）若数列 $ \{ b_{n} \} $ 满足：$ a_{n} = \frac{b_{1}}{3 + 1} + \frac{b_{2}}{3^{2} + 1} + \frac{b_{3}}{3^{3} + 1} + ·s + \frac{b_{n}}{3^{n} + 1} $，求数列 $ \{ b_{n} \} $ 的通项公式.

答案： （1）$a_n = 2n$；（2）$b_n = 2(3^n + 1)$

1. 已知数列 $ \{ a_{n} \} $ 的前 $ n $ 项和 $ S_{n} = n^{2} - 2n $，则 $ a_{2} + a_{18} $ 等于( )

A.$ 36 $
B.$ 35 $
C.$ 34 $
D.$ 33 $

答案： 1.C

2. 数列 $ \{ a_{n} \} $ 满足 $ a_{n + 1} = \lambda a_{n} - 1(n \in \mathbf{N}_{+}, \lambda \in \mathbf{R} $ 且 $ \lambda \neq 0) $，若数列 $ \{ a_{n} - 1 \} $ 是等比数列，则 $ \lambda $ 的值为( )

A.$ 1 $
B.$ - 1 $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ 2 $

答案： 2.D

3. 若数列 $ \{ a_{n} \} $ 满足关系 $ a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{a_{n}} $，$ a_{8} = \frac{34}{21} $，则 $ a_{5} = $ ____.

答案： 3.$\frac{8}{5}$

4. 已知数列 $ \{ a_{n} \} $ 满足 $ a_{1} = 1 $，$ a_{n} - a_{n + 1} = na_{n}a_{n + 1}(n \in \mathbf{N}_{+}) $，则 $ a_{n} = $ ____.
请完成课时分层评价 13

答案： 4.$\frac{2}{n^2 - n + 2}$