《2025年金版新学案高中数学选择性必修第二册北师大版》

(1)已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1 + a_3 = 2$，$S_9 = 36$，则$S_6 =$（ ）

A.$12$
B.$15$
C.$18$
D.$24$

答案：
(1)B

(2)记$S_n$为等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和。若$S_7 = 14$，且$a_3$，$a_4$，$a_6$成等比数列，则$a_{2026}$的值为______。

答案：
(2)2024 或 2

设$\{a_n\}$是公比大于$1$的等比数列，$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和。已知$S_3 = 7$，且$a_1 + 3$，$3a_2$，$a_3 + 4$构成等差数列。
(1)求数列$\{a_n\}$的通项公式；
(2)令$b_n = \ln a_{3n + 1}$，$n = 1$，$2$，$·s$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$。

答案： 1. 解：
(1)由已知得$\begin{cases}a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7, \frac{(a_{1} + 3) + (a_{3} + 4)}{2} = 3a_{2},\end{cases}$解得$a_{2} = 2$。
设数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，由$a_{2} = 2$，可得$a_{1} = \frac{2}{q}$，$a_{3} = 2q$，又$S_{3} = 7$，可知$\frac{2}{q} + 2 + 2q = 7$，即$2q^{2} - 5q + 2 = 0$，解得$q_{1} = 2$，$q_{2} = \frac{1}{2}$。
由题意得$q ＞ 1$，所以$q = 2$，所以$a_{1} = 1$。故数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = 2^{n - 1}$。
(2)由于$b_{n} = \ln a_{3n + 1}$，$n = 1,2,·s$，由
(1)得$a_{3n + 1} = 2^{3n}$，所以$b_{n} = \ln 2^{3n} = 3n\ln 2$。
又$b_{n + 1} - b_{n} = 3\ln 2$，所以$\{ b_{n}\}$是等差数列，所以$T_{n} = b_{1} + b_{2} + ·s + b_{n} = \frac{n(b_{1} + b_{n})}{2} = \frac{3n(n + 1)}{2} · \ln 2$。
故$T_{n} = \frac{3n(n + 1)}{2}\ln 2$。

典例 2
已知数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 1$。
(1)若数列$\{a_n\}$满足$a_{n + 1} - a_n = 1(n \in \mathbf{N}^*)$，证明：数列$\{2^{a_n}\}$是等比数列；
(2)若数列$\{a_n\}$是以$3$为公比的等比数列，证明：数列$\{\log_3 a_n\}$是等差数列。
听课笔记：

答案： 证明：
(1)当$n \geqslant 2$时，$\frac{2^{a_{n}}}{2^{a_{n - 1}}} = 2^{a_{n} - a_{n - 1}} = 2^{1} = 2$为常数，所以数列$\{ 2^{a_{n}}\}$是等比数列。
(2)由于数列$\{ a_{n}\}$是以$3$为公比的等比数列，所以$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = 3(n \geqslant 2)$，$\log_{3}a_{n} - \log_{3}a_{n - 1} = \log_{3}\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = \log_{3}3 = 1$为常数，所以数列$\{ \log_{3}a_{n}\}$是等差数列。