《2025年教材课本中职数学第一册通用版》

合作交流
奇函数的判定方法有哪些？试举例说明.

答案： 奇函数的判定方法主要有两种：
1. 图象法：若函数图象关于原点成中心对称，则该函数是奇函数。例如函数f(x)=x³的图象关于原点对称，所以f(x)=x³是奇函数。
2. 定义法：对于函数f(x)，若其定义域关于原点对称，且对于定义域内任意x，都有f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数。例如函数f(x)=5x，定义域为R（关于原点对称），f(-x)=-5x=-f(x)，所以f(x)=5x是奇函数。

思维拓展
试分析函数y=C(C为常数)的奇偶性.

答案： 当C=0时，函数y=0既是奇函数又是偶函数；当C≠0时，函数y=C是偶函数。
解析：函数y=C的定义域为R（关于原点对称）。当C=0时，f(-x)=0=-f(x)且f(-x)=0=f(x)，所以既是奇函数又是偶函数；当C≠0时，f(-x)=C=f(x)，所以是偶函数。

练习
1. 观察3.4.1练习第1题中各函数的图象,指出哪些图象所表示的函数是奇函数.

答案： 由于未提供3.4.1练习第1题中各函数的图象，无法直接判断。判断方法：若函数图象关于原点成中心对称，则该函数是奇函数。

2. 如图所示为奇函数f(x)在y轴右侧的图象，试将函数f(x)的图象补充完整.

答案： 根据奇函数图象关于原点对称的性质，在y轴左侧描出与y轴右侧图象对应的对称点，依次连接即可。（具体图象需根据给定的y轴右侧图象对称绘制）

3. 判断下列函数是否为奇函数.
(1)f(x)=5x；
(2)f(x)=-x³+x；
(3)f(x)=-x²+x-7；
$(4)f(x)=-\frac{1}{5x}.$

答案：
(1)是奇函数；
(2)是奇函数；
(3)不是奇函数；
(4)是奇函数。
解析：
(1)函数f(x)=5x的定义域是R，关于原点对称。f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x)，所以是奇函数。
(2)函数f(x)=-x³+x的定义域是R，关于原点对称。f(-x)=-(-x)³+(-x)=x³ - x=-( -x³ + x)=-f(x)，所以是奇函数。
(3)函数f(x)=-x²+x-7的定义域是R，关于原点对称。f(-x)=-(-x)²+(-x)-7=-x² - x - 7，-f(x)=x² - x + 7，f(-x)≠-f(x)，所以不是奇函数。
(4)函数$f(x)=-\frac{1}{5x}$的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称。$f(-x)=-\frac{1}{5(-x)}=\frac{1}{5x}=-(-\frac{1}{5x})=-f(x)，$所以是奇函数。

习题
A组
1. 判断下列函数是否为偶函数.
(1)f(x)=x² - x；$ (2)f(x)=\frac{2}{x²}；$$ (3)f(x)=\sqrt[3]{x²}.$

答案：
(1)不是偶函数；
(2)是偶函数；
(3)是偶函数。
解析：
(1)函数f(x)=x² - x的定义域是R，关于原点对称。f(-x)=(-x)² - (-x)=x² + x，f(x)=x² - x，f(-x)≠f(x)，所以不是偶函数。
(2)函数$f(x)=\frac{2}{x²}$的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称。$f(-x)=\frac{2}{(-x)²}=\frac{2}{x²}=f(x)，$所以是偶函数。
(3)函数$f(x)=\sqrt[3]{x²}$的定义域是R，关于原点对称。$f(-x)=\sqrt[3]{(-x)²}=\sqrt[3]{x²}=f(x)，$所以是偶函数。

2. 判断下列函数是否为奇函数.
$(1)f(x)=\frac{2}{x}+1；$ (2)f(x)=x³ + 2；$ (3)f(x)=\sqrt[3]{x}.$

答案：
(1)不是奇函数；
(2)不是奇函数；
(3)是奇函数。
解析：
(1)函数$f(x)=\frac{2}{x}+1$的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称。$f(-x)=\frac{2}{-x}+1=-\frac{2}{x}+1，$$-f(x)=-\frac{2}{x}-1，$f(-x)≠-f(x)，所以不是奇函数。
(2)函数f(x)=x³ + 2的定义域是R，关于原点对称。f(-x)=(-x)³ + 2=-x³ + 2，-f(x)=-x³ - 2，f(-x)≠-f(x)，所以不是奇函数。
(3)函数$f(x)=\sqrt[3]{x}$的定义域是R，关于原点对称。$f(-x)=\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}=-f(x)，$所以是奇函数。

3. 判断函数$f(x)=\frac{1}{x² + 1}$的奇偶性.

答案： 偶函数。
解析：函数$f(x)=\frac{1}{x² + 1}$的定义域是R，关于原点对称。$f(-x)=\frac{1}{(-x)² + 1}=\frac{1}{x² + 1}=f(x)，$所以函数f(x)是偶函数。

4. 如图所示为函数f(x)=x³ + x在y轴右侧的图象,请根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左侧的图象.

答案： 根据奇函数图象关于原点对称的性质，在y轴左侧描出与y轴右侧图象对应的对称点，依次连接即可。（具体图象需根据给定的y轴右侧图象对称绘制）