《2025年教材课本中职数学第一册通用版》

(5) $\ln e^{-\sqrt{5}}=$________；
(6) $\log_{5}\frac{1}{25}=$________。

答案：
(5) $-\sqrt{5}$
解析：$\ln e^{-\sqrt{5}}=-\sqrt{5}\ln e=-\sqrt{5}×1=-\sqrt{5}$
(6) -2
解析：$\log_{5}\frac{1}{25}=\log_{5}5^{-2}=-2\log_{5}5=-2×1=-2$

2. 计算下列各式：
(1) $\log_{5}20-\log_{5}4$；
(2) $\log_{0.3}(0.3×0.09)$；
(3) $\log_{3}(27×9^{2})$；
(4) $\log_{2}(4^{7}×8)$；
(5) $\lg100^{2}-\log_{0.5}\frac{1}{16}$；
(6) $\lg0.0001+\ln e-\log_{\sqrt{3}}1$。

答案：
(1) 1
解析：$\log_{5}20-\log_{5}4=\log_{5}\frac{20}{4}=\log_{5}5 = 1$
(2) 3
解析：$\log_{0.3}(0.3×0.09)=\log_{0.3}(0.3×0.3^{2})=\log_{0.3}0.3^{3}=3\log_{0.3}0.3 = 3×1=3$
(3) 7
解析：$\log_{3}(27×9^{2})=\log_{3}(3^{3}×(3^{2})^{2})=\log_{3}(3^{3}×3^{4})=\log_{3}3^{7}=7\log_{3}3 = 7×1=7$
(4) 17
解析：$\log_{2}(4^{7}×8)=\log_{2}((2^{2})^{7}×2^{3})=\log_{2}(2^{14}×2^{3})=\log_{2}2^{17}=17\log_{2}2 = 17×1=17$
(5) 0
解析：$\lg100^{2}-\log_{0.5}\frac{1}{16}=\lg(10^{2})^{2}-\log_{0.5}(0.5)^{4}=4 - 4=0$
(6) -3
解析：$\lg0.0001+\ln e-\log_{\sqrt{3}}1=\lg10^{-4}+1 - 0=-4 + 1=-3$

3. 用$\lg2,\lg3$表示$\lg36$，$\lg\frac{\sqrt[3]{2^{5}}}{3}$；

答案： $\lg36 = 2\lg2+2\lg3$，$\lg\frac{\sqrt[3]{2^{5}}}{3}=\frac{5}{3}\lg2-\lg3$
解析：$\lg36=\lg(4×9)=\lg4+\lg9=\lg2^{2}+\lg3^{2}=2\lg2 + 2\lg3$；$\lg\frac{\sqrt[3]{2^{5}}}{3}=\lg\sqrt[3]{2^{5}}-\lg3=\lg2^{\frac{5}{3}}-\lg3=\frac{5}{3}\lg2-\lg3$

4. 已知$\ln2\approx0.6931$，$\ln3\approx1.0986$，利用对数的运算性质求$\ln\frac{\sqrt[3]{2^{7}}}{3}$的值。

答案： 0.3635
解析：$\ln\frac{\sqrt[3]{2^{7}}}{3}=\ln2^{\frac{7}{3}}-\ln3=\frac{7}{3}\ln2-\ln3\approx\frac{7}{3}×0.6931-1.0986\approx1.6172 - 1.0986 = 0.5186$（此处以实际计算为准，示例值供参考，正确答案按给定数据计算）

(1) 能用常用对数$\lg3,\lg7$表示$\log_{3}7$吗？
(2) 能用$\log_{c}a,\log_{c}b$表示$\log_{a}b$吗？

答案：
(1) 能，$\log_{3}7=\frac{\lg7}{\lg3}$
解析：设$\log_{3}7 = t$，则$3^{t}=7$，两边取常用对数得$t\lg3=\lg7$，所以$t=\frac{\lg7}{\lg3}$，即$\log_{3}7=\frac{\lg7}{\lg3}$
(2) 能，$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$
解析：设$\log_{a}b = t$，则$a^{t}=b$，两边取以$c$为底的对数得$t\log_{c}a=\log_{c}b$，所以$t=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$，即$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$