《2025年教材课本中职数学第一册通用版》

例3：下列各组条件中，$p$是$q$的什么条件？
（1）$p$：$x=\pm1$；$q$：$x^2 = 1$。
（2）$p$：$\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$；$q$：$\triangle ABC$中，$c^2=a^2 + b^2$。
（3）$p$：$x ＞ 0$且$y ＞ 0$；$q$：$xy＞0$。
（4）$p$：“$a\in M$或$a\in N$”；$q$：“$a\in M\cap N$”。

答案： （1）充要条件；（2）充要条件；（3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件
解析：（1）$x=\pm1\Leftrightarrow x^2 = 1$，充要条件；（2）直角三角形勾股定理及逆定理，充要条件；（3）$x ＞ 0$且$y ＞ 0\Rightarrow xy＞0$，但$xy＞0$可能$x ＜ 0$且$y ＜ 0$，充分不必要条件；（4）$a\in M\cap N\Rightarrow a\in M$或$a\in N$，反之不成立，必要不充分条件。

合作交流：如果$p$是$q$的充要条件，那么$q$是$p$的什么条件？

答案： 充要条件
解析：$p$是$q$的充要条件即$p\Leftrightarrow q$，所以$q$也是$p$的充要条件。

练习1.用符号“$\Rightarrow$”“$\Leftarrow$”或“$\Leftrightarrow$”填空：
（1）$x ＞ 3$______$x ＞ 5$；
（2）$x = 2$______$x^2=4$；
（3）$a = 0$，$b = 0$______$a^2 + b^2=0$。

答案： （1）$\Leftarrow$；（2）$\Rightarrow$；（3）$\Leftrightarrow$
解析：（1）$x ＞ 5\Rightarrow x ＞ 3$，所以$x ＞ 3\Leftarrow x ＞ 5$；（2）$x = 2\Rightarrow x^2=4$，但$x^2=4$不一定$x = 2$，所以$\Rightarrow$；（3）$a = 0$且$b = 0\Leftrightarrow a^2 + b^2=0$，所以$\Leftrightarrow$。

练习2.下列各组条件中，$p$是$q$的什么条件？
（1）$p$：$x = 3$；$q$：$x^2=9$。
（2）$p$：$x ＜ 1$；$q$：$x ＜ - 2$。
（3）$p$：$\triangle ABC$有两个内角相等；$q$：$\triangle ABC$是等边三角形。
（4）$p$：$b^2-4ac ＜ 0$；$q$：一元二次方程$ax^2 + bx + c=0$没有实数解。

答案： （1）充分不必要条件；（2）必要不充分条件；（3）必要不充分条件；（4）充要条件
解析：（1）$x = 3\Rightarrow x^2=9$，但$x^2=9$可能$x=-3$，充分不必要条件；（2）$x ＜ - 2\Rightarrow x ＜ 1$，但$x ＜ 1$不一定$x ＜ - 2$，必要不充分条件；（3）等边三角形有两个内角相等，但有两个内角相等的三角形是等腰三角形不一定等边，必要不充分条件；（4）一元二次方程判别式$b^2-4ac ＜ 0\Leftrightarrow$无实根，充要条件。

练习3.“$x\neq1$”是“$x^2\neq1$”的（ ）。
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案： B
解析：$x^2\neq1\Rightarrow x\neq1$且$x\neq - 1$，所以“$x\neq1$”是“$x^2\neq1$”的必要不充分条件，选B。

习题A组1.用符号“$\Rightarrow$”“$\Leftarrow$”或“$\Leftrightarrow$”填空：
（1）$x ＞ 0$______$x ＞ - 1$；

答案： $\Rightarrow$
解析：$x ＞ 0$的范围在$x ＞ - 1$内，所以$x ＞ 0\Rightarrow x ＞ - 1$。