《2025年教材课本中职数学第一册通用版》

练习1.填空题：
（1）全集$U = \{a,b,c,d,e,f\}$，集合$A=\{b,d,f\}$，则$\complement_U A=$______；
（2）全集$U=\{x|x$是三角形$\}$，集合$B = \{x|x$是锐角三角形$\}$，则$\complement_U B=$______；
（3）全集$U=\mathbf{Z}$，集合$C=\{x|x = 2k-1,k\in\mathbf{Z}\}$，则$\complement_U C=$______；
（4）全集$U=\mathbf{R}$，集合$D=\{x|x\leqslant2\}$，则$\complement_U D=$______；
（5）全集$U=\mathbf{R}$，集合$E=\{x|-2 ＜ x\leqslant4\}$，则$\complement_U E=$______。

答案： （1）$\{a,c,e\}$
解析：$U$中去掉$A$的元素$b,d,f$，剩余$a,c,e$，所以$\complement_U A = \{a,c,e\}$。
（2）$\{x|x$是直角三角形或钝角三角形$\}$
解析：三角形分为锐角、直角、钝角三角形，所以$U$中不属于$B$的是直角或钝角三角形。
（3）$\{x|x = 2k,k\in\mathbf{Z}\}$
解析：$C$是奇数集，整数集$U$中不属于$C$的是偶数集，即$\{x|x = 2k,k\in\mathbf{Z}\}$。
（4）$\{x|x ＞ 2\}$
解析：$\mathbf{R}$中不属于$D$的元素是大于2的实数，即$\complement_U D=\{x|x ＞ 2\}$。
（5）$\{x|x\leqslant - 2$或$x ＞ 4\}$
解析：$\mathbf{R}$中不属于$E$的是小于等于$-2$或大于4的实数，即$\complement_U E=\{x|x\leqslant - 2$或$x ＞ 4\}$。

练习2.已知全集$U=\mathbf{R}$，集合$A=\{x|x ＜ 2\}$，集合$B=\{x|x ＞ 0\}$，求$A\cup B$，$A\cap B$，$\complement_U A$，$\complement_U B$。

答案： $A\cup B=\mathbf{R}$，$A\cap B=\{x|0 ＜ x ＜ 2\}$，$\complement_U A=\{x|x\geqslant2\}$，$\complement_U B=\{x|x\leqslant0\}$
解析：$A\cup B$是所有小于2或大于0的实数，即全体实数$\mathbf{R}$；$A\cap B$是既小于2又大于0的实数，即$\{x|0 ＜ x ＜ 2\}$；$\complement_U A$是不小于2的实数$\{x|x\geqslant2\}$；$\complement_U B$是不大于0的实数$\{x|x\leqslant0\}$。

习题A组1.已知集合$A=\{a,b,c,d,e\}$，集合$B = \{b,f\}$，求$A\cup B$，$A\cap B$。

答案： $A\cup B=\{a,b,c,d,e,f\}$，$A\cap B=\{b\}$
解析：$A\cup B$是$A$和$B$所有元素合并，即$\{a,b,c,d,e,f\}$；$A\cap B$是$A$和$B$共有的元素，即$\{b\}$。

习题A组2.已知集合$A=\{x|-1 ＜ x\leqslant3\}$，集合$B=\{x|-3\leqslant x\leqslant2\}$，求$A\cup B$，$A\cap B$。

答案： $A\cup B=\{x|-3\leqslant x\leqslant3\}$，$A\cap B=\{x|-1 ＜ x\leqslant2\}$
解析：$A\cup B$取两区间最大范围，从$-3$到$3$；$A\cap B$取两区间重叠部分，从$-1$到$2$。

习题A组3.已知集合$A=\{(x,y)|y=-x + 3\}$，集合$B=\{(x,y)|y = 2x-1\}$，求$A\cap B$。

答案： $\{( \frac{4}{3},\frac{5}{3})\}$
解析：联立方程$\begin{cases}y=-x + 3\\y = 2x-1\end{cases}$，解得$x=\frac{4}{3}$，$y=\frac{5}{3}$，所以$A\cap B=\{( \frac{4}{3},\frac{5}{3})\}$。

习题A组4.已知全集$U=\mathbf{R}$，集合$A=\{x|-5 ＜ x\leqslant2\}$，求$\complement_U A$。

答案： $\{x|x\leqslant - 5$或$x ＞ 2\}$
解析：$\mathbf{R}$中不属于$A$的元素是小于等于$-5$或大于2的实数，即$\complement_U A=\{x|x\leqslant - 5$或$x ＞ 2\}$。

习题A组5.已知全集$U=\{x\in\mathbf{Z}|0 ＜ x ＜ 10\}$，集合$A=\{1,3,4,6,7\}$，集合$B=\{2,4,5,6,8\}$，求：（1）$\complement_U A$，$\complement_U B$；（2）$\complement_U A\cap\complement_U B$与$\complement_U(A\cup B)$；（3）$\complement_U A\cup\complement_U B$与$\complement_U(A\cap B)$。

答案： （1）$\complement_U A=\{2,5,8,9\}$，$\complement_U B=\{1,3,7,9\}$
解析：$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$，$\complement_U A$是$U$中去掉$A$的元素，即$\{2,5,8,9\}$；$\complement_U B$是$U$中去掉$B$的元素，即$\{1,3,7,9\}$。
（2）$\complement_U A\cap\complement_U B=\{9\}$，$\complement_U(A\cup B)=\{9\}$
解析：$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，$\complement_U(A\cup B)=\{9\}$；$\complement_U A\cap\complement_U B=\{9\}$。
（3）$\complement_U A\cup\complement_U B=\{1,2,3,5,7,8,9\}$，$\complement_U(A\cap B)=\{1,2,3,5,7,8,9\}$
解析：$A\cap B=\{4,6\}$，$\complement_U(A\cap B)=\{1,2,3,5,7,8,9\}$；$\complement_U A\cup\complement_U B=\{1,2,3,5,7,8,9\}$。

习题A组6.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，求仅参加一项活动的学生人数。

答案： 45
解析：两项都参加人数：$30 + 25-50=5$人；仅参加甲项：$30 - 5=25$人；仅参加乙项：$25 - 5=20$人；仅参加一项人数：$25 + 20=45$人。

习题B组1.设集合$A=\{x|2\leqslant x ＜ 4\}$，集合$B=\{x|3x - 7\geqslant8 - 2x\}$，则$A\cup B$等于（ ）。
A.$\{x|x\geqslant3\}$ B.$\{x|x\geqslant2\}$ C.$\{x|2\leqslant x ＜ 3\}$ D.$\{x|x\geqslant4\}$

答案： B
解析：解$B$中不等式$3x-7\geqslant8 - 2x$得$5x\geqslant15$，$x\geqslant3$，所以$B=\{x|x\geqslant3\}$。$A\cup B$是$\{x|2\leqslant x ＜ 4\}\cup\{x|x\geqslant3\}=\{x|x\geqslant2\}$，选B。

习题B组2.集合$A=\{0,2,a\}$，集合$B=\{1,a^2\}$。若$A\cup B=\{0,1,2,4,16\}$，则$a$的值为（ ）。
A.0 B.1 C.2 D.4

答案： D
解析：因为$A\cup B$中有4和16，所以$a$和$a^2$为4和16，$a = 4$时$a^2=16$，符合，选D。

习题B组3.设全集$U=\{2,4,a^2 - a + 1\}$，集合$A=\{2,a + 1\}$，$\complement_U A=\{7\}$，则$a=$______。

答案： 3
解析：因为$\complement_U A=\{7\}$，所以$7\in U$且$7\notin A$，则$a^2 - a + 1=7$，解得$a^2 - a - 6=0$，$(a - 3)(a + 2)=0$，$a=3$或$a=-2$。当$a = 3$时，$a + 1=4\in U$；当$a=-2$时，$a + 1=-1\notin U$，舍去，所以$a=3$。

习题B组4.已知集合$A=\{x|x\leqslant1\}$，集合$B=\{x|x\geqslant a\}$，且$A\cup B=\mathbf{R}$，则实数$a$的取值范围是______。

答案： $a\leqslant1$
解析：要使$A\cup B=\mathbf{R}$，$B$需覆盖$A$右侧，即$a\leqslant1$。

习题B组5.已知集合$A=\{1,3,5\}$，集合$B=\{1,2,x^2 - 1\}$，若$A\cup B=\{1,2,3,5\}$，求$x$及$A\cap B$。

答案： $x=\pm2$，$A\cap B=\{1,3\}$
解析：因为$A\cup B$有3，所以$x^2-1=3$，$x^2=4$，$x=\pm2$。此时$B=\{1,2,3\}$，$A\cap B=\{1,3\}$。

习题B组6.已知集合$A=\{x|2a\leqslant x\leqslant a + 3\}$，集合$B=\{x|x ＜ - 1$或$x ＞ 5\}$，若$A\cap B=\varnothing$，求$a$的取值范围。

答案： $-\frac{1}{2}\leqslant a\leqslant2$
解析：当$A=\varnothing$时，$2a ＞ a + 3$，$a ＞ 3$（舍去，与$A\cap B=\varnothing$矛盾）；当$A\neq\varnothing$时，$\begin{cases}2a\geqslant - 1\\a + 3\leqslant5\end{cases}$，解得$-\frac{1}{2}\leqslant a\leqslant2$。

习题B组7.已知集合$A=\{x|x^2 + 2x - 8=0\}$，集合$B=\{x|x^2 - 5x + 6=0\}$，集合$C=\{x|x^2 - mx + m^2 - 19=0\}$，若$B\cap C\neq\varnothing$，$A\cap C=\varnothing$，求$m$的值。

答案： $m=-2$
解析：$A=\{-4,2\}$，$B=\{2,3\}$。因为$B\cap C\neq\varnothing$，所以$2\in C$或$3\in C$；又$A\cap C=\varnothing$，所以$-4\notin C$，$2\notin C$，故$3\in C$。将$x = 3$代入$C$方程：$9-3m + m^2-19=0$，$m^2-3m - 10=0$，$(m - 5)(m + 2)=0$，$m=5$或$m=-2$。当$m = 5$时，$C=\{2,3\}$，$A\cap C=\{2\}\neq\varnothing$，舍去；当$m=-2$时，$C=\{-5,3\}$，符合，所以$m=-2$。