《2025年教材课本中职数学第一册通用版》

B组
1. 设$a＞0$，下列各式中正确的是（ ）.
A. $a^{\frac{1}{2}}× a^{\frac{1}{2}}=a$
B. $a÷ a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$
C. $a^{\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{2}}=0$
D. $(a^{\frac{1}{2}})^{5}=a$

答案： A
解析：A选项，$a^{\frac{1}{2}}× a^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=a^{1}=a$，正确；B选项，$a÷ a^{\frac{1}{3}}=a^{1-\frac{1}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$，正确（原答案可能只选A，B选项也正确）；C选项，$a^{\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{2}}=a^{0}=1\neq0$，错误；D选项，$(a^{\frac{1}{2}})^{5}=a^{\frac{5}{2}}\neq a$，错误。若单选则选A。

3. 在$(-\frac{1}{2})^{-1}$，$(\frac{1}{2})^{-1}$，$2^{-1}$，$2^{-\frac{1}{2}}$中，最大的数是______.

答案： $(\frac{1}{2})^{-1}$
解析：$(-\frac{1}{2})^{-1}=-2$，$(\frac{1}{2})^{-1}=2$，$2^{-1}=\frac{1}{2}$，$2^{-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，所以最大的数是$(\frac{1}{2})^{-1}$。

4. 将$3^{\sqrt{2}}$，$2^{\sqrt{3}}$，$2^{\sqrt{2}}$，$\pi^{0}$按从小到大的顺序重新排列为______.（可用计算器计算）

答案： $\pi^{0}＜2^{\sqrt{2}}＜3^{\sqrt{2}}＜2^{\sqrt{3}}$
解析：$\pi^{0}=1$，$2^{\sqrt{2}}\approx2.665$，$3^{\sqrt{2}}\approx4.729$，$2^{\sqrt{3}}\approx3.322$（此处原答案可能有误，经计算$2^{\sqrt{3}}\approx3.322$，$3^{\sqrt{2}}\approx4.729$，所以顺序应为$\pi^{0}＜2^{\sqrt{2}}＜2^{\sqrt{3}}＜3^{\sqrt{2}}$）。

5. 用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正数）：
（1）$\sqrt{a^{2}\sqrt{a^{2}\sqrt{a^{2}\sqrt{a}}}}$；
（2）$\frac{\sqrt{n^{3}}\sqrt[4]{n^{7}}}{\sqrt{n}\cdot(\sqrt[5]{n})^{3}\cdot n^{\frac{1}{2}}}$.

答案： （1）$a^{\frac{15}{16}}$；（2）$n^{\frac{1}{5}}$
解析：（1）从内向外逐步化简，$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$，$\sqrt{a^{2}\sqrt{a}}=\sqrt{a^{2}a^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{a^{\frac{5}{2}}}=a^{\frac{5}{4}}$，$\sqrt{a^{2}\sqrt{a^{2}\sqrt{a}}}=\sqrt{a^{2}a^{\frac{5}{4}}}=\sqrt{a^{\frac{13}{4}}}=a^{\frac{13}{8}}$，$\sqrt{a^{2}\sqrt{a^{2}\sqrt{a^{2}\sqrt{a}}}}=\sqrt{a^{2}a^{\frac{13}{8}}}=\sqrt{a^{\frac{29}{8}}}=a^{\frac{29}{16}}$（原答案可能有误，经计算应为$a^{\frac{29}{16}}$，若按原答案$a^{\frac{15}{16}}$，可能化简过程存在错误）。
（2）分子$\sqrt{n^{3}}\sqrt[4]{n^{7}}=n^{\frac{3}{2}}n^{\frac{7}{4}}=n^{\frac{6}{4}+\frac{7}{4}}=n^{\frac{13}{4}}$，分母$\sqrt{n}\cdot(\sqrt[5]{n})^{3}\cdot n^{\frac{1}{2}}=n^{\frac{1}{2}}n^{\frac{3}{5}}n^{\frac{1}{2}}=n^{\frac{1}{2}+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}}=n^{\frac{5}{5}+\frac{3}{5}}=n^{\frac{8}{5}}$，所以原式$=n^{\frac{13}{4}-\frac{8}{5}}=n^{\frac{65}{20}-\frac{32}{20}}=n^{\frac{33}{20}}$（原答案可能有误，经计算应为$n^{\frac{33}{20}}$，若按原答案$n^{\frac{1}{5}}$，可能题目中根式指数存在错误）。

6. 已知$a^{m}=2$，$a^{n}=3$，求$a^{\frac{m - n}{2}}$的值.

答案： $\frac{\sqrt{6}}{3}$
解析：$a^{\frac{m - n}{2}}=(a^{m - n})^{\frac{1}{2}}=(\frac{a^{m}}{a^{n}})^{\frac{1}{2}}=(\frac{2}{3})^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

问题探究
1. 某种生物的细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……请完成一个该种细胞分裂次数$x$与分裂后细胞总数$y$之间的对应值表（表4-4）.
表4-4
| 分裂次数$x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | … | $x$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 细胞总数$y$ | | 4 | | 16 | … | |

答案： 2；8；$2^{x}$
解析：分裂1次，$y = 2$；分裂3次，$y=8$；分裂$x$次，$y = 2^{x}$。

2. 庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”设经过$x$天后，木棰剩余的长度为$y$尺.分别写出以上两个问题中变量$y$与$x$之间的函数解析式.这两个函数解析式有哪些共同特征？

答案： 细胞分裂：$y = 2^{x}$；木棰剩余长度：$y=(\frac{1}{2})^{x}$。共同特征：都形如$y = a^{x}(a＞0,a\neq1)$，底数为常数，指数为自变量。