《2025年教材课本中职数学第一册通用版》

例5 已知下列不等式，比较正数$ m $，$ n $的大小．
（1）$ \lg m＞\lg n $；
（2）$ \log_{0.6}m＜\log_{0.6}n $．

答案： （1）$ m＞n $
解析：$ y = \lg x $即$ y = \log_{10}x $，$ 10＞1 $，在$(0,+\infty)$上是增函数，$\lg m＞\lg n$，所以$ m＞n $。
（2）$ m＞n $
解析：$ y = \log_{0.6}x $，$ 0＜0.6＜1 $，在$(0,+\infty)$上是减函数，$\log_{0.6}m＜\log_{0.6}n$，所以$ m＞n $。

思维拓展：如图4-8所示为对数函数$ y = \log_{a}x $在底数$ a $分别取$ 0.1 $，$ 0.6 $，$ 1.9 $，$ e $时的图象，则曲线$ C_{1} $，$ C_{2} $，$ C_{3} $，$ C_{4} $对应的$ a $的值依次是多少？

答案： $ 1.9 $；$e$；$ 0.6 $；$ 0.1 $
解析：当$ a＞1 $时，对数函数$ y = \log_{a}x $在$(0,+\infty)$上是增函数，底数越大，图象在$ x＞1 $时越靠近$ x $轴；当$ 0＜a＜1 $时，是减函数，底数越小，图象在$ x＞1 $时越靠近$ x $轴。$ e\approx2.718＞1.9＞1 $，$ 0.6＞0.1＞0 $，所以$ C_{1} $对应$ 1.9 $，$ C_{2} $对应$e$，$ C_{3} $对应$ 0.6 $，$ C_{4} $对应$ 0.1 $。

练习1. 比较下列各组中两数的大小．
（1）$ \log_{\frac{1}{3}}3.1 $与$ \log_{\frac{1}{3}}2.2 $；
（2）$ \log_{2}2.3 $与$ \log_{2}2.7 $；
（3）$ \log_{0.12}7 $与$ \log_{0.12}0.7 $；
（4）$ \log_{\frac{1}{2}}\pi $与$ 1 $；
（5）$ \log_{a}0.6 $与$ \log_{a}1.6 $（$ a＞0 $，且$ a\neq1 $）；
（6）$ \log_{\frac{1}{3}}3 $与$ \log_{\frac{1}{5}}3 $．

答案： （1）$\log_{\frac{1}{3}}3.1＜\log_{\frac{1}{3}}2.2$
解析：$ y = \log_{\frac{1}{3}}x $是减函数，$ 3.1＞2.2 $，所以$\log_{\frac{1}{3}}3.1＜\log_{\frac{1}{3}}2.2$。
（2）$\log_{2}2.3＜\log_{2}2.7$
解析：$ y = \log_{2}x $是增函数，$ 2.3＜2.7 $，所以$\log_{2}2.3＜\log_{2}2.7$。
（3）$\log_{0.12}7＜\log_{0.12}0.7$
解析：$ y = \log_{0.12}x $是减函数，$ 7＞0.7 $，所以$\log_{0.12}7＜\log_{0.12}0.7$。
（4）$\log_{\frac{1}{2}}\pi＜1$
解析：$ 1=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2} $，$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $是减函数，$\pi＞\frac{1}{2}$，所以$\log_{\frac{1}{2}}\pi＜\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=1$。
（5）当$ a＞1 $时，$\log_{a}0.6＜\log_{a}1.6$；当$ 0＜a＜1 $时，$\log_{a}0.6＞\log_{a}1.6$
解析：$ a＞1 $时，增函数，$ 0.6＜1.6 $，则$\log_{a}0.6＜\log_{a}1.6$；$ 0＜a＜1 $时，减函数，$ 0.6＜1.6 $，则$\log_{a}0.6＞\log_{a}1.6$。
（6）$\log_{\frac{1}{3}}3＞\log_{\frac{1}{5}}3$
解析：$\log_{\frac{1}{3}}3=-1$，$\log_{\frac{1}{5}}3=-\log_{5}3$，$\log_{5}3＞1$，所以$-\log_{5}3＜-1$，即$\log_{\frac{1}{3}}3＞\log_{\frac{1}{5}}3$。

2. 比较$ 0 $，$ \log_{0.2}1 $的大小．

答案： $ 0=\log_{0.2}1 $
解析：$\log_{0.2}1 = 0$，所以$ 0=\log_{0.2}1 $。

习题A组1. 求下列函数的定义域．
（1）$ y = \log_{2}(x - 3) $；
（2）$ y = \log_{x}\sqrt{x} $；
（3）$ y=\log_{0.3}\frac{1}{1 - 2x} $；
（4）$ y = \log_{0.6}\sqrt{3x - 2}+\log_{2}\frac{1}{x - 1} $．

答案： （1）$(3,+\infty)$
解析：$ x - 3＞0\Rightarrow x＞3 $，定义域为$(3,+\infty)$。
（2）$(0,1)\cup(1,+\infty)$
解析：$\left\{\begin{array}{l} x＞0且x\neq1 \\ \sqrt{x}＞0 \end{array}\right.\Rightarrow x＞0且x\neq1$，定义域为$(0,1)\cup(1,+\infty)$。
（3）$\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$
解析：$\frac{1}{1 - 2x}＞0\Rightarrow1 - 2x＞0\Rightarrow x＜\frac{1}{2}$，定义域为$\left(-\infty,\frac{1}{2}\right)$（原答案可能有误，$\frac{1}{1 - 2x}＞0$即$1 - 2x＞0\Rightarrow x＜\frac{1}{2}$，应为$\left(-\infty,\frac{1}{2}\right)$）。
（4）$\left[\frac{2}{3},1\right)$
解析：$\left\{\begin{array}{l} 3x - 2\geq0 \\ x - 1＞0 \\ \frac{1}{x - 1}＞0 \end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x\geq\frac{2}{3} \\ x＞1 \\ x＞1 \end{array}\right.\Rightarrow x＞1$（原答案可能有误，应为$ x＞1 $）。