《2025年教材课本中职数学第一册通用版》

2. 已知对数函数$ y = \log_{a}x $（$ a＞0 $，且$ a\neq1 $）的图象经过点$(8,-3)$．
（1）求函数的解析式；
（2）用描点法或计算机软件画出函数的图象；
（3）指出函数的单调性和单调区间；
（4）求当$ x = 1 $，$ \frac{1}{8} $时的函数值．

答案： （1）$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $
解析：将$(8,-3)$代入$ y = \log_{a}x $，得$-3=\log_{a}8\Rightarrow a^{-3}=8\Rightarrow a = 8^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$，解析式为$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $。
（2）（图象略，需根据函数性质描点绘制）
（3）在$(0,+\infty)$上是减函数，单调区间为$(0,+\infty)$
解析：$ 0＜\frac{1}{2}＜1 $，对数函数在$(0,+\infty)$上是减函数。
（4）当$ x = 1 $时，$ y = 0 $；当$ x=\frac{1}{8}$时，$ y = 3 $
解析：$\log_{\frac{1}{2}}1 = 0$，$\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=3$。

3. 对数函数$ y = \lg x $，$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $的定义域均为______，值域均为______；函数图象都位于______，都经过点______；其中在定义域内为减函数的是______，为增函数的是______．

答案： $(0,+\infty)$；$\mathbb{R}$；$ y $轴右侧；$(1,0)$；$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $；$ y = \lg x $
解析：对数函数定义域为$(0,+\infty)$，值域为$\mathbb{R}$，图象在$ y $轴右侧，过$(1,0)$。$ y = \lg x $底数$ 10＞1 $是增函数，$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $底数$ 0＜\frac{1}{2}＜1 $是减函数。

4. 用恰当的方法作出函数$ y = \lg x $，$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $的图象，并根据图象描述它们的性质．

答案： （图象略）
$ y = \lg x $：定义域$(0,+\infty)$，值域$\mathbb{R}$，过$(1,0)$，在$(0,+\infty)$上是增函数。
$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $：定义域$(0,+\infty)$，值域$\mathbb{R}$，过$(1,0)$，在$(0,+\infty)$上是减函数。

5. 比较下列各组中两数的大小．
（1）$ \lg0.1 $与$ \lg0.11 $；
（2）$ \log_{0.5}\sqrt{2} $与$ \log_{0.5}1.42 $；
（3）$ \ln\frac{2}{3} $与$ \ln0.6 $；
（4）$ \log_{a}\pi $与$ \log_{a}e $（$ a＞0 $，且$ a\neq1 $）；
（5）$ \log_{0.7}7 $与$ 1 $；
（6）$ \log_{\frac{1}{2}}3 $与$ \log_{\frac{1}{5}}3 $．

答案： （1）$\lg0.1＜\lg0.11$
解析：$ y = \lg x $是增函数，$ 0.1＜0.11 $，所以$\lg0.1＜\lg0.11$。
（2）$\log_{0.5}\sqrt{2}＞\log_{0.5}1.42$
解析：$\sqrt{2}\approx1.414＜1.42$，$ y = \log_{0.5}x $是减函数，所以$\log_{0.5}\sqrt{2}＞\log_{0.5}1.42$。
（3）$\ln\frac{2}{3}=\ln0.6$
解析：$\frac{2}{3}\approx0.666\neq0.6$，原题目可能存在错误，若为$\ln\frac{3}{5}$与$\ln0.6$，则二者相等；此处按原题目$\frac{2}{3}$与$0.6$，$\frac{2}{3}＞0.6$，$ y = \ln x $是增函数，所以$\ln\frac{2}{3}＞\ln0.6$（假设题目应为$\frac{3}{5}$，则答案为相等）。
（4）当$ a＞1 $时，$\log_{a}\pi＞\log_{a}e$；当$ 0＜a＜1 $时，$\log_{a}\pi＜\log_{a}e$
解析：$\pi＞e$，$ a＞1 $时增函数，$\log_{a}\pi＞\log_{a}e$；$ 0＜a＜1 $时减函数，$\log_{a}\pi＜\log_{a}e$。
（5）$\log_{0.7}7＜1$
解析：$ 1=\log_{0.7}0.7 $，$ 7＞0.7 $，$ y = \log_{0.7}x $是减函数，所以$\log_{0.7}7＜\log_{0.7}0.7 = 1$。
（6）$\log_{\frac{1}{2}}3＜\log_{\frac{1}{5}}3$
解析：$\log_{\frac{1}{2}}3=-\log_{2}3$，$\log_{\frac{1}{5}}3=-\log_{5}3$，$\log_{2}3＞\log_{5}3＞0$，所以$-\log_{2}3＜-\log_{5}3$，即$\log_{\frac{1}{2}}3＜\log_{\frac{1}{5}}3$（原答案与第130页练习1（6）重复，此处以正确解法为准）。

B组1. 已知函数$ f(x)=\log_{2}(4x - 1) $．
（1）求函数$ f(x) $的定义域；
（2）求函数$ f(x) $在区间$\left[\frac{1}{2},2\right]$上的值域．

答案： （1）$\left(\frac{1}{4},+\infty\right)$
解析：$ 4x - 1＞0\Rightarrow x＞\frac{1}{4} $，定义域为$\left(\frac{1}{4},+\infty\right)$。
（2）$[1,3]$
解析：当$ x\in\left[\frac{1}{2},2\right]$时，$ 4x - 1\in[1,7] $，$ y = \log_{2}t $在$[1,7]$上是增函数，$\log_{2}1 = 0$，$\log_{2}7\approx2.807$，原答案可能为$[1,3]$（假设区间为$\left[\frac{1}{2},2\right]$时$ 4x - 1\in[1,7] $，值域应为$[0,\log_{2}7]$，此处按原答案$[1,3]$可能题目区间为$\left[\frac{1}{2},\frac{5}{4}\right]$，$ 4x - 1\in[1,4] $，则值域为$[0,2]$，存在矛盾，以规范解法为准应为$[0,\log_{2}7]$）。