《2025年教材课本中职数学第一册通用版》

例5 如图5-10,扇形OAB的面积是4cm²,周长是8cm,求扇形的圆心角α.

答案： 2
解：设扇形的弧长为$ l $，半径为$ r $，则有$\begin{cases}\frac{1}{2}lr = 4\\l + 2r=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}l = 4\\r=2\end{cases}$，所以圆心角$\alpha=\frac{l}{r}=\frac{4}{2}=2$。

思维拓展 已知公路上一段圆弧形弯道的半径是30m,圆心角是120°,该弯道的长度是多少?

答案： 20\pi\ m
解：因为圆心角$ 120^{\circ}=\frac{120}{180}\pi=\frac{2\pi}{3}$，弯道长度即弧长$ l=|\alpha|r=\frac{2\pi}{3}×30 = 20\pi(m) $。

练习 1. 直径为20 cm的滑轮,每秒钟旋转45°,则滑轮边缘一点5s内转过的弧长是多少?

答案： \frac{25\pi}{2}\ cm
解：滑轮半径$ r=\frac{20}{2}=10(cm) $，每秒钟旋转角度$ 45^{\circ}=\frac{\pi}{4}$弧度，5秒旋转角度$\alpha = 5×\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$，弧长$ l=|\alpha|r=\frac{5\pi}{4}×10=\frac{25\pi}{2}(cm) $。

练习 2. 在半径为12 cm的扇形中,圆心角为4,求该扇形的弧长和面积.

答案： 弧长：48\ cm，面积：288\ cm^2
解：弧长$ l=|\alpha|r = 4×12=48(cm) $，面积$ S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×48×12 = 288(cm^2) $。

习题 A组 1. 将下列各角化为弧度. (1)90°;

答案： \frac{\pi}{2}
解：$ 90^{\circ}=\frac{90}{180}\pi=\frac{\pi}{2} $。

习题 A组 1. 将下列各角化为弧度. (2)120°;

答案： \frac{2\pi}{3}
解：$ 120^{\circ}=\frac{120}{180}\pi=\frac{2\pi}{3} $。

习题 A组 1. 将下列各角化为弧度. (3)-45°;

答案： -\frac{\pi}{4}
解：$ -45^{\circ}=-\frac{45}{180}\pi=-\frac{\pi}{4} $。

习题 A组 1. 将下列各角化为弧度. (4)-270°.

答案： -\frac{3\pi}{2}
解：$ -270^{\circ}=-\frac{270}{180}\pi=-\frac{3\pi}{2} $。

习题 A组 2. 将下列各角化为度. (1)$\frac{\pi}{6}$;

答案： 30°
解：$ \frac{\pi}{6}×\frac{180^{\circ}}{\pi}=30^{\circ} $。

习题 A组 2. 将下列各角化为度. (2)$\pi$;

答案： 180°
解：$ \pi×\frac{180^{\circ}}{\pi}=180^{\circ} $。

习题 A组 2. 将下列各角化为度. (3)$-\frac{3\pi}{4}$;

答案： -135°
解：$ -\frac{3\pi}{4}×\frac{180^{\circ}}{\pi}=-135^{\circ} $。

习题 A组 2. 将下列各角化为度. (4)-2π.

答案： -360°
解：$ -2\pi×\frac{180^{\circ}}{\pi}=-360^{\circ} $。

习题 A组 3. 在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=3:5:7,求角A,B,C的弧度数.

答案： \frac{\pi}{5},\frac{\pi}{3},\frac{7\pi}{15}
解：三角形内角和为$\pi$，总份数$3 + 5+7=15$，$\angle A=\frac{3}{15}\pi=\frac{\pi}{5}$，$\angle B=\frac{5}{15}\pi=\frac{\pi}{3}$，$\angle C=\frac{7}{15}\pi=\frac{7\pi}{15}$。

习题 A组 4. 在以原点为圆心、1为半径的圆中,弦AB的长度为$\sqrt{3}$,求弦AB所对的圆心角α的弧度数.

答案： \frac{2\pi}{3}
解：半径$ r = 1 $，弦长$ AB=\sqrt{3} $，过圆心作弦AB的垂线，垂足为C，则$ AC=\frac{\sqrt{3}}{2} $，$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{AC}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{3}$，$\alpha=\frac{2\pi}{3}$。

习题 A组 5. 已知扇形OAB的圆心角α为120°,半径r=6,求该扇形的周长及面积.

答案： 周长：12 + 4\pi\ cm，面积：12\pi\ cm^2
解：圆心角$ 120^{\circ}=\frac{2\pi}{3} $，弧长$ l=|\alpha|r=\frac{2\pi}{3}×6 = 4\pi $，周长$ C=l + 2r=4\pi+12 $，面积$ S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×4\pi×6 = 12\pi $。