《2025年暑假生活五年级数学西师大版重庆出版社》

1. 填一填，找规律。
奇数$-$奇数$=$(偶)数 偶数$-$偶数$=$(偶)数
奇数$×$奇数$=$(奇)数 偶数$×$偶数$=$(偶)数
奇数$×$偶数$=$(偶)数

答案： 偶、偶、奇、偶、偶

2. 根据上面的规律解决下列问题。
(1)算式$1+2+3+4+\cdots+2025$的结果是奇数还是偶数？试进行说明。
(2)桌子上摆着7只杯子，杯口都朝上，每次将任意4只杯子各翻动一次，使全部杯子的杯口都朝下，你能办到吗？
(3)小明家的楼道里有一盏灯，初始状态是关着的。这盏灯的开关被设计成按一下灯亮，再按一下灯灭，如此循环。如果小明按了25次开关，灯是亮着的还是关着的？如果按了$2a$次开关呢？($a$为非零自然数)

答案： 【解析】：
(1) 对于算式$1 + 2 + 3 + 4+\cdots+2025$，求从$1$到$n$的连续自然数的和公式为$S=\frac{n(n + 1)}{2}$，这里$n = 2025$，则$S=\frac{2025×(2025 + 1)}{2}=\frac{2025×2026}{2}=2025×1013$。因为$2025$是奇数，$1013$也是奇数，根据奇数×奇数 = 奇数，所以结果是奇数。
(2) 用$+1$表示杯口朝上，$-1$表示杯口朝下，问题就转化为：$7$个$+1$，每次改变其中$4$个数的符号，若干次后能否把它们都变成$-1$。一只杯子从杯口朝上变为杯口朝下，需要翻动奇数次。$7$只杯子全部杯口朝下，翻动的总次数为$7$个奇数的和，根据奇数个奇数相加的和为奇数，所以总次数是奇数。而每次翻动$4$只杯子，无论翻动多少次，翻动的总次数一定是$4$的倍数，也就是偶数。因为奇数不等于偶数，所以不能办到。
(3) 已知按一下灯亮，再按一下灯灭，即按奇数次灯亮，按偶数次灯灭。小明按了$25$次开关，$25$是奇数，所以灯是亮着的；按了$2a$次开关（$a$为非零自然数），$2a$一定是偶数，所以灯是关着的。
【答案】：
(1)奇数，因为$1 + 2 + 3+\cdots+2025=\frac{2025×(2025 + 1)}{2}=2025×1013$，$2025$和$1013$都是奇数，奇数×奇数 = 奇数。
(2)不能办到，因为$7$只杯子全部杯口朝下需要翻动的总次数是奇数，而每次翻动$4$只杯子，翻动总次数是偶数，奇数不等于偶数。
(3)按$25$次灯亮，按$2a$次灯关。

快 菜
旅游团要来品尝朝阳饭店的“快菜”——炒蛋。朝阳饭店的厨师问：“要炒几只蛋呢？”旅游团的导游笑笑说：“那要看顾客胃口的大小啰，最少1只，最多15只，我们临时通知吧。不过，上菜速度是越快越好。”于是厨师把15只鸡蛋分别打入四个盘子，悠闲地等待。不管顾客要吃几只蛋(1~15的范围内)，他都能保证快速上菜。你想，厨师的四个盘里，各打了几只蛋？

答案： 【解析】：本题可根据二进制数的特点来确定每个盘子中鸡蛋的数量。因为$1$、$2$、$4$、$8$这几个数通过不同的组合可以得到$1$到$15$之间的任意数。具体组合方式如下：
$1$只蛋：直接用有$1$只蛋的盘子。
$2$只蛋：用有$2$只蛋的盘子。
$3$只蛋：$1 + 2 = 3$，用有$1$只蛋和有$2$只蛋的盘子。
$4$只蛋：用有$4$只蛋的盘子。
$5$只蛋：$1+4 = 5$，用有$1$只蛋和有$4$只蛋的盘子。
$6$只蛋：$2 + 4 = 6$，用有$2$只蛋和有$4$只蛋的盘子。
$7$只蛋：$1+2 + 4 = 7$，用有$1$只蛋、有$2$只蛋和有$4$只蛋的盘子。
$8$只蛋：用有$8$只蛋的盘子。
$9$只蛋：$1+8 = 9$，用有$1$只蛋和有$8$只蛋的盘子。
$10$只蛋：$2 + 8 = 10$，用有$2$只蛋和有$8$只蛋的盘子。
$11$只蛋：$1+2 + 8 = 11$，用有$1$只蛋、有$2$只蛋和有$8$只蛋的盘子。
$12$只蛋：$4 + 8 = 12$，用有$4$只蛋和有$8$只蛋的盘子。
$13$只蛋：$1+4 + 8 = 13$，用有$1$只蛋、有$4$只蛋和有$8$只蛋的盘子。
$14$只蛋：$2+4 + 8 = 14$，用有$2$只蛋、有$4$只蛋和有$8$只蛋的盘子。
$15$只蛋：$1+2 + 4+8 = 15$，用有$1$只蛋、有$2$只蛋、有$4$只蛋和有$8$只蛋的盘子。
【答案】：$1$只、$2$只、$4$只、$8$只